Resolver a equação diferencial ordinária
Passo 1
Resumindo o problema: temos a EDO não homogênea
com condições iniciais
,
. É uma equação linear de 2ª ordem com coeficientes constantes; vamos usar Transformada de Laplace e Convolução para achar a solução.
Passo 2
Para encontrar a solução complementar, resolvemos a equação homogênea
. A equação característica é
, cujas raízes são
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace em toda a EDO e usando
, temos
logo
e portanto
Passo 4
Fazendo frações parciais no termo
obtemos
invertendo a Transformada no primeiro termo vem
O segundo termo em
gera a parte particular por convolução:
onde
Passo 5
Na decomposição de frações já surgiram automaticamente os coeficientes
e
que satisfazem as condições iniciais, pois
e
. Assim a solução que atende
e
é a soma
e portanto temos a solução completa.
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é