Resolver a equação diferencial ordinária
y^prime prime-4 y^prime+3 y=F(t), y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Resumindo o problema: temos a EDO não homogênea y''-4y'+3y = F(t) com condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0. É uma equação linear de 2ª ordem com coeficientes constantes; vamos usar Transformada de Laplace e Convolução para achar a solução.

Passo 2

Para encontrar a solução complementar, resolvemos a equação homogênea y''-4y'+3y=0. A equação característica é r^2-4r+3=0, cujas raízes são r=1 e r=3. Logo a solução homogênea é
yh(t)=C1e^t + C2e^3t

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace em toda a EDO e usando Y(s)=Ly(t), temos
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s)-s,
Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s)-1,
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(s^2-4s+3)Y(s)-s+4=F(s)
e portanto
Y(s)=s-4(s-1)(s-3) ;+ F(s)(s-1)(s-3)

Passo 4

Fazendo frações parciais no termo (s-4)/((s-1)(s-3)) obtemos
s-4(s-1)(s-3)=3/2s-1-1/2s-3,
invertendo a Transformada no primeiro termo vem
yh(t)=32e^t - 12e^3t
O segundo termo em Y(s) gera a parte particular por convolução:
yp(t)=integral0^t h(t-tau),F(tau),dtau,
onde
h(t)=L^-1l1(s-1)(s-3)r=e^3t-e^t2

Passo 5

Na decomposição de frações já surgiram automaticamente os coeficientes 3/2 e -1/2 que satisfazem as condições iniciais, pois yp(0)=0 e yp'(0)=0. Assim a solução que atende y(0)=1 e y'(0)=0 é a soma
y(t)=yh(t)+yp(t)
e portanto temos a solução completa.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(t)=32e^t - 12e^3t + integral0^t e^3(t-tau) - e^(t-tau)2,F(tau),dtau

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