Encontrar o fator de atrito, Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercicio 2
Diâmetro (m) = 0,14
Velocidade (m/s)= 0,93
Densidade kg / m^{3}= 919
Tensão inicial Pa= 3,2
K Pas^n = 1,8
n = 0,57

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o fator de atrito e caracterize o escoamento de um líquido Herschel–Bulkley nas condições dadas. Os dados fornecidos são:
\text{Diâmetro: } D = 0{,}14\\ \text{m}â
\text{Velocidade média: } U = 0{,}93\\ \text{m/s}é
\text{Densidade: } \rho = 919\\ \text{kg/m}^3
\text{Tensão de escoamento (yield): } \tau_0 = 3{,}2\\ \text{Pa}ã
K = 1{,}8\\ \text{Pa}\cdot\text{s}^n
n = 0{,}57
Perguntas explícitas (inferidas do enunciado):
  1. Encontrar o fator de atrito (Darcy) do escoamento.
  2. Determinar o regime de escoamento (laminar/turbulento) ou, mais geralmente, caracterizar o escoamento.

Passo 2

O que é um fluido Herschel–Bulkley e qual equação usamos:
Um fluido Herschel–Bulkley tem comportamento com tensão de escoamento e lei do tipo potência. A relação entre tensão de cisalhamento \tau e taxa de deformação \dot{\gamma} é
\tau = \tau_0 + K\,\dot{\gamma}^{\,n},
onde:
  • \tau_0 é a tensão de escoamento (yield stress) em Pa;
  • K é o coeficiente de consistência ( \text{Pa}\cdot\text{s}^n);
  • n é o expoente de comportamento (adimensional);
  • \dot{\gamma} é a taxa de cisalhamento (s^{-1}).
Para escoamento em tubulação usamos duas relações importantes:
  1. Definição do fator de atrito (Darcy) relacionando perda de carga por comprimento \Delta P/L:
\frac{\Delta P}{L} = f \frac{\rho U^2}{2D}.
  1. Tensão de cisalhamento na parede \tau_w relaciona-se com a perda de carga por:
\tau_w = \frac{D}{4}\,\frac{\Delta P}{L}.
Combinando as duas acima obtemos a relação direta entre \tau_w e f:
\tau_w = \frac{f\,\rho U^2}{8}\quad\Rightarrow\quad f = \frac{8\,\tau_w}{\rho U^2}.
Vou usar essa relação: calcular \tau_w a partir da constituição Herschel–Bulkley e daí obter f.

Passo 3

Como obter \dot{\gamma}_w (taxa de cisalhamento na parede) para usar na lei constitutiva:
Para fluidos do tipo potência costuma-se usar a correção de Metzner–Reed para estimar a taxa de cisalhamento na parede a partir da velocidade média. A fórmula prática é
\dot{\gamma}_w = \frac{8U}{D}\cdot\frac{3n+1}{4n}.
Observação didática: essa expressão nasce de integrar o perfil de velocidade para um fluido power-law e relacionar a taxa média com a taxa na parede; é um procedimento padrão e dá uma boa estimativa mesmo quando se tem leve correção por yield stress. Vou usar essa estimativa para obter \dot{\gamma}_w, depois inserir na lei Herschel–Bulkley para obter \tau_w. Esse procedimento é simples e apropriado para uma resolução de prova rápida. Se quiséssemos máxima precisão com yield region não aproximada, entraríamos numa integração mais longa — normalmente desnecessária nos exercícios de prova.

Passo 4

Calcular a taxa de cisalhamento estimada na parede \dot{\gamma}_w com Metzner–Reed:
\dot{\gamma}_w = \frac{8U}{D}\cdot\frac{3n+1}{4n}.
Substituindo números:
\frac{8U}{D}=\frac{8\cdot 0{,}93}{0{,}14}=53{,}142857\\ \text{s}^{-1},
\frac{3n+1}{4n}=\frac{3\cdot 0{,}57 + 1}{4\cdot 0{,}57}=\frac{2{,}71}{2{,}28}=1{,}1885965\ldots
Logo
\dot{\gamma}_w = 53{,}142857\cdot 1{,}1885965 \approx 63{,}11\\ \text{s}^{-1}.

Passo 5

Calcular a tensão de cisalhamento na parede \tau_w usando Herschel–Bulkley:
A lei é \tau_w = \tau_0 + K\,\dot{\gamma}_w^{\,n}. Então
\dot{\gamma}_w^{\,n} = 63{,}11^{\,0{,}57}\approx 10{,}63,
K\,\dot{\gamma}_w^{\,n} = 1{,}8\cdot 10{,}63 \approx 19{,}13\\ \text{Pa},
\tau_w = \tau_0 + K\,\dot{\gamma}_w^{\,n} = 3{,}2 + 19{,}13 \approx 22{,}33\\ \text{Pa}.

Passo 6

Obter o fator de atrito f a partir de \tau_w:
Usando
f = \frac{8\,\tau_w}{\rho U^2},
substituo os valores:
U^2 = 0{,}93^2 = 0{,}8649\\ \text{m}^2/\text{s}^2,
\rho U^2 = 919\cdot 0{,}8649 \approx 794{,}84\\ \text{kg/(m·s}^2)=\text{Pa},
f = \frac{8\cdot 22{,}33}{794{,}84}\approx \frac{178{,}64}{794{,}84}\approx 0{,}225.
Interpretação: o fator de atrito obtido é aproximadamente \;0{,}225 (adimensional, fator de Darcy).

Passo 7

Verificação do regime de escoamento: número de Reynolds generalizado (aplicando Metzner–Reed para power-law):
Defino uma viscosidade aparente na parede (usada para estimar um Reynolds generalizado):
\eta_{\text{app}} = K\,\dot{\gamma}_w^{\,n-1}.
Calculando:
n-1 = -0{,}43,\quad \dot{\gamma}_w^{\,n-1} = 63{,}11^{-0{,}43}\approx 0{,}1685,
\eta_{\text{app}} = 1{,}8\cdot 0{,}1685 \approx 0{,}3034\\ \text{Pa·s}.
O número de Reynolds generalizado (Metzner–Reed) é
\mathrm{Re}_{MR} = \frac{\rho U D}{\eta_{\text{app}}} = \frac{919\cdot 0{,}93\cdot 0{,}14}{0{,}3034}\approx 394{,}5.
Conclusão sobre regime: \mathrm{Re}_{MR}\approx 395, valor bem abaixo de limites típicos de transição usados para fluidos não-newtonianos; portanto o escoamento é laminar. Isso confirma que o uso das fórmulas laminares foi adequado.

Passo 8

Comentário sobre outras formas de estimar f e diferença encontrada:
Para um fluido power-law puro em regime laminar muitas vezes usa-se a correlação do tipo f = 16/\mathrm{Re}_{MR}. Se eu aplicasse isso:
f_{\text{power-law}} \approx \frac{16}{394{,}5}\approx 0{,}0406,
é muito menor do que o valor \approx 0{,}225 obtido diretamente pela relação com \tau_w. A razão é que a presença da tensão de escoamento \tau_0 acrescenta uma contribuição fixa à resistência (uma “carga extra”), elevando bastante \tau_w e portanto f. Por isso, para Herschel–Bulkley o procedimento consistente é estimar \dot{\gamma}_w, obter \tau_w pela lei HB e então usar f=8\tau_w/(\rho U^2). O outro método (usar diretamente 16/\mathrm{Re}_{MR}) ignora \tau_0 e subestima f.

Resposta

Fator de atrito (Darcy): f \approx 0{,}225.
Regime de escoamento: laminar, com \mathrm{Re}_{MR}\approx 3{,}95\times 10^{2}.

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