Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercício 9
Diâmetro (m) = 0,126
Velocidade (m/s)= 0,612
Densidade kg / m^{3}= 955
Tensão inicial Pa= 4,11
K Pas^n = 7,2
n = 0,51

Passo 1

O enunciado pede “Calcular o escoamento de um líquido Herschel-Bulkley” e fornece os seguintes dados:
D=0,126\\ \mathrm{m}
V=0,612\\ \mathrm{m/s}
\rho=955\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\tau_{0}=4,11\\ \mathrm{Pa}
K=7,2\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}}
n=0,51
Como o enunciado é curto, vou interpretar “calcular o escoamento” como determinar o vazão volumétrica Q (m³/s) correspondente à velocidade média dada e também a vazão mássica \dot{m} (kg/s). Esses são os resultados práticos que se obtêm diretamente a partir de D e V. (Se você quiser outra grandeza específica ligada ao modelo Herschel–Bulkley — por exemplo, perda de carga, raio do “plug” etc. — me fala depois; aqui vou calcular Q e \dot{m}.)

Passo 2

Fórmulas que vamos usar e o que cada símbolo significa:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}
onde A é a área da seção transversal do tubo e D é o diâmetro.
Q = V\cdot A
onde Q é a vazão volumétrica e V é a velocidade média (velocidade dada no enunciado).
\dot{m}=\rho\cdot Q
onde \dot{m} é a vazão mássica e \rho é a densidade do fluido.
Explicação didática curta: a área de um círculo de diâmetro D é \pi D^{2}/4. A vazão volumétrica é simplesmente a área multiplicada pela velocidade média atravessando essa área — imagina a água deslocando um volume por segundo igual à “altura” (velocidade) vezes a “base” (área). A vazão mássica multiplica o volume por segundo pela densidade para obter kg/s.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal passo a passo:
D^{2}=(0,126)^{2}=0,015876
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 0,015876}{4}
Agora calculando numericamente (usando \pi\approx 3,14159265):
\pi\cdot 0,015876 \approx 0,049853
A \approx \frac{0,049853}{4}=0,01246325\\ \mathrm{m^{2}}

Passo 4

Calcular a vazão volumétrica Q:
Q=V\cdot A = 0,612\cdot 0,01246325
Multiplicando:
Q \approx 0,00762751\\ \mathrm{m^{3}/s}
Arredondando de forma razoável (três casas significativas):
Q \approx 0,007628\\ \mathrm{m^{3}/s}

Passo 5

Calcular a vazão mássica \dot{m}:
\dot{m}=\rho\cdot Q = 955\cdot 0,00762751
\dot{m} \approx 7,28427\\ \mathrm{kg/s}
Arredondando (três casas significativas):
\dot{m} \approx 7,284\\ \mathrm{kg/s}

Passo 6

Observação didática sobre os parâmetros Herschel–Bulkley ( \tau_{0},K,n): eles descrevem o comportamento reológico do fluido (tensão de escoamento \tau_{0} — precisa-se superar essa tensão para o fluido começar a escoar localmente —, K é a consistência e n é o índice de comportamento plástico/pseudoplástico). Neste problema particular, como a velocidade média V e o diâmetro D foram fornecidos, não precisamos dessas constantes para obter Q e \dot{m}. Para calcular outras quantidades específicas do escoamento não-Newtoniano (por exemplo perda de carga ou raio do plugue devido à \tau_{0}) seria necessário usar as fórmulas do escoamento laminar de Herschel–Bulkley em conduto circular ou conhecer a perda de carga/gradiente de pressão. Se quiser, eu faço esses cálculos também — só me pede.

Resposta

Q=0,007628\\ \mathrm{m^{3}/s}
\dot{m}=7,284\\ \mathrm{kg/s}

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