Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercício 8
Diâmetro (m) = 0,1
Velocidade (m/s)= 0,66
Densidade kg / m^{3}= 914
Tensão inicial Pa= 3,44
K Pas^n = 2,5
n = 0,49

Passo 1

O enunciado pede para “Calcular o escoamento” de um líquido Herschel–Bulkley dadas algumas condições. Vou listar claramente o que é fornecido e o que vou calcular (isto deixa a cabeça mais leve, combinado?):
Dados fornecidos:
\text{Diâmetro: } D = 0,1\\ \text{m}â
\text{Velocidade média: } V = 0,66\\ \text{m/s}é
\text{Densidade: } \rho = 914\\ \text{kg/m}^3
\text{Tensão de escoamento (yield): } \tau_0 = 3{,}44\\ \text{Pa}ã
K = 2{,}5\\ \text{Pa}\cdot\text{s}^n
n = 0{,}49
O que vou calcular (interpretei “escoamento” como calcular as quantidades que descrevem o escoamento e permitem concluir se o fluido está realmente escoando):
  • Vazão volumétrica Q (m³/s) usando Q = V \cdot A, onde A é a área da secção do tubo.
  • Vazão mássica \dot{m} (kg/s) usando \dot{m} = \rho Q.
  • Taxa de deformação característica na parede \dot{\gamma}_w (s⁻¹). Para fluidos do tipo potência (e aproximações para Herschel–Bulkley) usamos a relação de Metzner–Reed: \dot{\gamma}_w = \frac{8V}{D}\cdot\frac{3n+1}{4n}.Vou explicar essa fórmula quando for aplicá‑la.
  • Tensão de cisalhamento na parede \tau_w (Pa) usando a lei de Herschel–Bulkley: \tau_w = \tau_0 + K\,\dot{\gamma}_w^{\,n}.
  • Viscosidade aparente na parede \eta_{\text{app}} = \tau_w/\dot{\gamma}_w (Pa·s).
  • Comparar \tau_w com \tau_0 para concluir se o fluido está de fato escoando (precisa ser \tau_w>\tau_0).
Agora começa a resolução numérica passo a passo.

Passo 2

Calcular a área da secção do tubo e a vazão volumétrica Q.
Área da secção circular:
A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}1)^{2}}{4} = \pi\cdot 0{,}0025 = 0{,}007853981634\\ \text{m}^{2}.
Vazão volumétrica (produto da velocidade média pela área):
Q = V\cdot A = 0{,}66\cdot 0{,}007853981634 = 0{,}005183628\\ \text{m}^{3}/\text{s}.
(Arredondarei os resultados finais de forma razoável; mantenho mais casas aqui para não perder precisão nas contas seguintes.)

Passo 3

Calcular a vazão mássica \dot{m}.
Fórmula: \dot{m} = \rho\, Q.
Aplicando os números:
\dot{m} = 914 \cdot 0{,}005183628 = 4{,}737835992\\ \text{kg/s}.

Passo 4

Explicar e calcular a taxa de deformação característica na parede \dot{\gamma}_w.
Por que usamos essa fórmula? Para fluidos do tipo potência (lei de potência) existe uma relação entre a velocidade média V e a taxa de deformação na parede. Metzner e Reed propuseram uma correção que dá uma boa estimativa da taxa de deformação na parede como função de V, D e do índice de potência n. A fórmula é:
\dot{\gamma}_w = \frac{8V}{D}\cdot\frac{3n+1}{4n}.
Aqui:
  • \dot{\gamma}_w é a taxa de deformação efetiva na parede (s⁻¹).
  • V é a velocidade média (m/s).
  • D é o diâmetro do tubo (m).
  • n é o índice de potência do modelo (adimensional).
Calculando o fator \dfrac{3n+1}{4n} para n=0{,}49:
\frac{3n+1}{4n}=\frac{3\cdot 0{,}49 + 1}{4\cdot 0{,}49}=\frac{2{,}47}{1{,}96}=1{,}2602040816\dots
Agora:
\frac{8V}{D}=\frac{8\cdot 0{,}66}{0{,}1}=52{,}8\\ \text{s}^{-1}.
Portanto
\dot{\gamma}_w = 52{,}8 \cdot 1{,}2602040816 = 66{,}53877551\\ \text{s}^{-1}.
Arredondando com uma precisão razoável:
\dot{\gamma}_w \approx 66{,}54\\ \text{s}^{-1}.

Passo 5

Calcular a tensão de cisalhamento na parede \tau_w usando a lei de Herschel–Bulkley.
Lei de Herschel–Bulkley:
\tau = \tau_0 + K\,\dot{\gamma}^{\,n},
onde:
  • \tau_0 é a tensão de escoamento (yield) em Pa,
  • K é a consistência (unidades \text{Pa}\cdot\text{s}^{n}),
  • n é o índice de fluxo,
  • \dot{\gamma} é a taxa de deformação (s⁻¹).
Aplicando na parede (com \dot{\gamma}_w calculada):
\tau_w = 3{,}44 + 2{,}5\cdot (66{,}53877551)^{0{,}49}.
Calcular a parte com potência:
Vamos calcular (66{,}53877551)^{0{,}49}. Tomando logaritmo:
\ln(66{,}53877551)\approx 4{,}198730\quad\Rightarrow\quad 0{,}49\cdot 4{,}198730 \approx 2{,}0573717,
(66{,}53877551)^{0{,}49} \approx e^{2{,}0573717}\approx 7{,}8246.
Então
2{,}5\cdot 7{,}8246 \approx 19{,}5615
e
\tau_w \approx 3{,}44 + 19{,}5615 = 23{,}0015\\ \text{Pa}.
Arredondando:
\tau_w \approx 23{,}00\\ \text{Pa}.
Observação importante (didática): para haver escoamento pleno o esforço de cisalhamento gerado pelo escoamento deve ser maior que a tensão de escoamento \tau_0. Aqui \tau_w\approx 23{,}00\\ \text{Pa} e \tau_0=3{,}44\\ \text{Pa}, portanto \tau_w>\tau_0 e o fluido está, de fato, escoando (não está “travado” pela tensão de escoamento).

Passo 6

Calcular a viscosidade aparente na parede \eta_{\text{app}} e comentar o resultado.
Definição:
\eta_{\text{app}} = \frac{\tau_w}{\dot{\gamma}_w}.
Aplicando:
\eta_{\text{app}} = \frac{23{,}0015}{66{,}53877551} \approx 0{,}3457\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
Interpretação: essa é a viscosidade “efetiva” que o fluido apresenta à taxa de deformação na parede. Para fluidos não-newtonianos, a viscosidade depende da taxa de deformação; aqui ela é bem menor que a consistência K porque o expoente n<1 (comportamento pseudoplástico).

Passo 7

Resumo final e incentivo (curtiu? já dá pra encarar a prova)
  • Calculei a vazão volumétrica e mássica a partir da velocidade média dada.
  • Usei a relação de Metzner–Reed para estimar a taxa de deformação na parede (aproximação clássica para fluidos do tipo potência e útil para Herschel–Bulkley).
  • Apliquei a lei de Herschel–Bulkley para obter a tensão de parede e verificar que \tau_w>\tau_0, logo o fluido escoa.
  • Também calculei a viscosidade aparente na parede, que é a quantidade útil quando você quer tratar o fluido quase como um Newtoniano “equivalente” àquela condição.
Força aí, você segurou a bronca até o fim — já sabe como fazer esse tipo de verificação na prova: Q, ṁ, \dot{\gamma}_w, \tau_w e \eta_{\text{app}}. Vai dar certo!

Resposta

Q = 0{,}005183628\\ \text{m}^{3}/\text{s} \n
\dot{m} = 4{,}737835992\\ \text{kg/s} \n
\dot{\gamma}_w = 66{,}53877551\\ \text{s}^{-1} \n
\tau_w = 23{,}0015\\ \text{Pa} \n
\eta_{\text{app}} = 0{,}3457\\ \text{Pa}\cdot\text{s} \n
Fluxo ocorre, pois \tau_w>\tau_0 ( 23{,}00\\ \text{Pa} > 3{,}44\\ \text{Pa} ).

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