Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercício 8
Diâmetro (m) = 0,1
Velocidade (m/s)= 0,66
Densidade
914
Tensão inicial
3,44
K Pas^n = 2,5
0,49
Exercício 8
Diâmetro (m) = 0,1
Velocidade (m/s)= 0,66
Densidade
Tensão inicial
K Pas^n = 2,5
Passo 1
O enunciado pede para “Calcular o escoamento” de um líquido Herschel–Bulkley dadas algumas condições. Vou listar claramente o que é fornecido e o que vou calcular (isto deixa a cabeça mais leve, combinado?):
Dados fornecidos:
O que vou calcular (interpretei “escoamento” como calcular as quantidades que descrevem o escoamento e permitem concluir se o fluido está realmente escoando):
- Vazão volumétrica
(m³/s) usando , onde é a área da secção do tubo. - Vazão mássica
(kg/s) usando . - Taxa de deformação característica na parede
(s⁻¹). Para fluidos do tipo potência (e aproximações para Herschel–Bulkley) usamos a relação de Metzner–Reed: Vou explicar essa fórmula quando for aplicá‑la. - Tensão de cisalhamento na parede
(Pa) usando a lei de Herschel–Bulkley: - Viscosidade aparente na parede
(Pa·s). - Comparar
com para concluir se o fluido está de fato escoando (precisa ser ).
Agora começa a resolução numérica passo a passo.
Passo 2
Calcular a área da secção do tubo e a vazão volumétrica
.
Área da secção circular:
Vazão volumétrica (produto da velocidade média pela área):
(Arredondarei os resultados finais de forma razoável; mantenho mais casas aqui para não perder precisão nas contas seguintes.)
Passo 3
Calcular a vazão mássica
.
Fórmula:
.
Aplicando os números:
Passo 4
Explicar e calcular a taxa de deformação característica na parede
.
Por que usamos essa fórmula? Para fluidos do tipo potência (lei de potência) existe uma relação entre a velocidade média
e a taxa de deformação na parede. Metzner e Reed propuseram uma correção que dá uma boa estimativa da taxa de deformação na parede como função de
,
e do índice de potência
. A fórmula é:
Aqui:
-
é a taxa de deformação efetiva na parede (s⁻¹). -
é a velocidade média (m/s). -
é o diâmetro do tubo (m). -
é o índice de potência do modelo (adimensional).
Calculando o fator
para
:
Agora:
Portanto
Arredondando com uma precisão razoável:
Passo 5
Calcular a tensão de cisalhamento na parede
usando a lei de Herschel–Bulkley.
Lei de Herschel–Bulkley:
onde:
-
é a tensão de escoamento (yield) em Pa, -
é a consistência (unidades ), -
é o índice de fluxo, -
é a taxa de deformação (s⁻¹).
Aplicando na parede (com
calculada):
Calcular a parte com potência:
Vamos calcular . Tomando logaritmo:
Vamos calcular
Então
e
Arredondando:
Observação importante (didática): para haver escoamento pleno o esforço de cisalhamento gerado pelo escoamento deve ser maior que a tensão de escoamento
. Aqui
e
, portanto
e o fluido está, de fato, escoando (não está “travado” pela tensão de escoamento).
Passo 6
Calcular a viscosidade aparente na parede
e comentar o resultado.
Definição:
Aplicando:
Interpretação: essa é a viscosidade “efetiva” que o fluido apresenta à taxa de deformação na parede. Para fluidos não-newtonianos, a viscosidade depende da taxa de deformação; aqui ela é bem menor que a consistência
porque o expoente
(comportamento pseudoplástico).
Passo 7
Resumo final e incentivo (curtiu? já dá pra encarar a prova)
- Calculei a vazão volumétrica e mássica a partir da velocidade média dada.
- Usei a relação de Metzner–Reed para estimar a taxa de deformação na parede (aproximação clássica para fluidos do tipo potência e útil para Herschel–Bulkley).
- Apliquei a lei de Herschel–Bulkley para obter a tensão de parede e verificar que
, logo o fluido escoa. - Também calculei a viscosidade aparente na parede, que é a quantidade útil quando você quer tratar o fluido quase como um Newtoniano “equivalente” àquela condição.
Força aí, você segurou a bronca até o fim — já sabe como fazer esse tipo de verificação na prova: Q, ṁ,
,
e
. Vai dar certo!
Resposta
Fluxo ocorre, pois