Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções
(h) h(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}

Passo 1

O enunciado pede claramente:
  • Determinar os intervalos de crescimento (onde a função sobe) e de decrescimento (onde a função cai) da função h.
  • Identificar os máximos e mínimos relativos (se existirem).
A função dada é
h(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (ou óbvias):
  • A expressão envolve raiz cúbica e divisão por essa raiz.
  • É preciso olhar para o domínio da função, derivar para analisar monotonicidade e identificar pontos críticos para máximos/minimos.

Passo 2

Determinar o domínio de h.
Explicação didática: a raiz cúbica \sqrt[3]{x} está definida para todo x\in\mathbb{R} (diferente das raízes pares). Porém a função tem divisão por \sqrt[3]{x}, então devemos excluir pontos onde o denominador é zero.
  • \sqrt[3]{x}=0 ocorre quando x=0.
    Logo o domínio é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\} = (-\infty,0)\cup(0,\infty).

Passo 3

Reescrever a função em forma de potência e explicar a regra de derivação que vamos usar.
É mais simples trabalhar com potências:
h(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\tfrac{1}{3}}.
A regra que vamos usar: a regra do poder (power rule). Para \alpha\in\mathbb{R} e x\neq0, a derivada de x^{\alpha} é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{\alpha}\bigr)=\alpha x^{\alpha-1}.
Comentário didático: essa fórmula vem da definição de derivada e vale para potências racionais/ reais em pontos onde a função está definida (aqui x\neq0). Aplicamos essa regra com \alpha=-\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Calcular a derivada passo a passo.
Aplicando a regra do poder com \alpha=-\tfrac{1}{3}:
h'(x) = -\tfrac{1}{3}\,x^{-\tfrac{1}{3}-1} = -\tfrac{1}{3}\,x^{-\tfrac{4}{3}}.
Escrever de forma mais explícita como fração:
h'(x) = -\frac{1}{3}\,x^{-\tfrac{4}{3}} = -\frac{1}{3x^{4/3}}.
Explicação do que significa x^{4/3}: x^{4/3}=(\sqrt[3]{x})^{4}=\bigl(\,(\sqrt[3]{x})^{3}\bigr)^{4/3}= em prática é (\sqrt[3]{|x|})^{4} com sinal positivo porque a potência 4 anula o sinal; para qualquer x\neq0 temos x^{4/3}>0.

Passo 5

Analisar o sinal de h'(x) para obter monotonicidade.
Observações e explicações:
  • O fator -\tfrac{1}{3} é negativo.
  • Para todo x\in\mathcal{D} temos x^{4/3}>0. Portanto o denominador 3x^{4/3} é positivo, e o quociente -\frac{1}{3x^{4/3}} é negativo.
Conclusão: h'(x)<0 para todo x\in(-\infty,0) e também para todo x\in(0,\infty). Isso significa que a função é estritamente decrescente em cada componente do domínio.
Importante: como 0 não pertence ao domínio, não se pode falar de monotonicidade “através” de 0; trata-se de duas regiões separadas.

Passo 6

Verificar existência de pontos críticos e máximos/mínimos relativos.
Definições e procedimento:
  • Pontos críticos são pontos do domínio onde h'(x)=0 ou onde h' não existe.
  • Nos nossos cálculos h'(x)=-\tfrac{1}{3}x^{-4/3} nunca é zero (porque numerador -1\neq0). A derivada não existe em x=0, mas x=0 também não pertence ao domínio, então não é um ponto crítico no domínio.
  • Como não há pontos do domínio em que h'(x)=0, não há pontos onde a função troque de crescente para decrescente (ou vice-versa) dentro do domínio. Sendo estritamente decrescente em cada intervalo do domínio, não existem máximos ou mínimos relativos em \mathcal{D}.
Complemento (intuição): ao aproximar-se de zero pela direita, \lim_{x\to0^+}h(x)=+\infty; pela esquerda, \lim_{x\to0^-}h(x)=-\infty. Em \infty e -\infty a função tende a 0 (sem atingir), então também não há extremos globais alcançados.

Passo 7

Resumo final prático para a prova (forma direta que você pode copiar):
  • Domínio: \mathcal{D}=(-\infty,0)\cup(0,\infty).
  • Derivada: h'(x)=-\dfrac{1}{3x^{4/3}} para x\neq0.
  • Sinal da derivada: h'(x)<0 em todo o domínio.
  • Monotonicidade: função estritamente decrescente em (-\infty,0) e em (0,\infty).
  • Máximos/minimos relativos: não existem (nenhum ponto crítico no domínio com h'=0).

Resposta

Intervalos de crescimento: nenhum.
Intervalos de decrescimento: (-\infty,0) e (0,\infty).
Máximos relativos: nenhum.
Mínimos relativos: nenhum.

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