Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado pede claramente:
- Determinar os intervalos de crescimento (onde a função sobe) e de decrescimento (onde a função cai) da função
. - Identificar os máximos e mínimos relativos (se existirem).
A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (ou óbvias):
- A expressão envolve raiz cúbica e divisão por essa raiz.
- É preciso olhar para o domínio da função, derivar para analisar monotonicidade e identificar pontos críticos para máximos/minimos.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Explicação didática: a raiz cúbica
está definida para todo
(diferente das raízes pares). Porém a função tem divisão por
, então devemos excluir pontos onde o denominador é zero.
-
ocorre quando .
Logo o domínio é
Passo 3
Reescrever a função em forma de potência e explicar a regra de derivação que vamos usar.
É mais simples trabalhar com potências:
A regra que vamos usar: a regra do poder (power rule). Para
e
, a derivada de
é
Comentário didático: essa fórmula vem da definição de derivada e vale para potências racionais/ reais em pontos onde a função está definida (aqui
). Aplicamos essa regra com
.
Passo 4
Calcular a derivada passo a passo.
Aplicando a regra do poder com
:
Escrever de forma mais explícita como fração:
Explicação do que significa
:
em prática é
com sinal positivo porque a potência
anula o sinal; para qualquer
temos
.
Passo 5
Analisar o sinal de
para obter monotonicidade.
Observações e explicações:
- O fator
é negativo. - Para todo
temos . Portanto o denominador é positivo, e o quociente é negativo.
Conclusão:
para todo
e também para todo
. Isso significa que a função é estritamente decrescente em cada componente do domínio.
Importante: como
não pertence ao domínio, não se pode falar de monotonicidade “através” de
; trata-se de duas regiões separadas.
Passo 6
Verificar existência de pontos críticos e máximos/mínimos relativos.
Definições e procedimento:
- Pontos críticos são pontos do domínio onde
ou onde não existe. - Nos nossos cálculos
nunca é zero (porque numerador ). A derivada não existe em , mas também não pertence ao domínio, então não é um ponto crítico no domínio. - Como não há pontos do domínio em que
, não há pontos onde a função troque de crescente para decrescente (ou vice-versa) dentro do domínio. Sendo estritamente decrescente em cada intervalo do domínio, não existem máximos ou mínimos relativos em .
Complemento (intuição): ao aproximar-se de zero pela direita,
; pela esquerda,
. Em
e
a função tende a
(sem atingir), então também não há extremos globais alcançados.
Passo 7
Resumo final prático para a prova (forma direta que você pode copiar):
- Domínio:
. - Derivada:
para . - Sinal da derivada:
em todo o domínio. - Monotonicidade: função estritamente decrescente em
e em . - Máximos/minimos relativos: não existem (nenhum ponto crítico no domínio com
).
Resposta
Intervalos de crescimento: nenhum.
Intervalos de decrescimento: e
.
Máximos relativos: nenhum.
Mínimos relativos: nenhum.
Intervalos de decrescimento:
Máximos relativos: nenhum.
Mínimos relativos: nenhum.