Se f(x)=|x-2|, achar F(x), tal que F^{\prime}(x)=f(x) e calcule \int_{0}^{5} f(x) d x. Rpta. \frac{13}{2}
F(x)= \begin{cases}\frac{1}{2}(x-2)^{2}, & x \geq 2 . \\\\ -\frac{1}{2}(x-2)^{2}, & x \leq 2 .\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=|x-2|, isto é, uma função F tal que F'(x)=f(x) para todo x.
Calcular o integral definido \displaystyle\int_{0}^{5} f(x)\,dx.
Informações dadas:
A função é f(x)=|x-2|.
A resposta final esperada para o integral é \dfrac{13}{2} (isso é só referência; vamos demonstrar).
Passo 2
Entender o que é o valor absoluto e escrever f\) de forma piecewise (por partes). Lembre que a função valor absoluto tem a definição
\[|u|=\begin{cases} u, & u\ge 0,\\[4pt] -u, & u<0. \end{cases}
Aplicando com u=x-2\] obtemos
\[f(x)=|x-2|=\begin{cases} x-2, & x\ge 2,\\[4pt] -(x-2)=2-x, & x<2. \end{cases}\]
Isso significa que para \(x à direita de 2 a função é a reta x-2 e para x à esquerda de 2 é a reta 2-x. No ponto x=2 temos f(2)=0.]
Passo 3
Procurar uma primitiva separadamente em cada intervalo onde f é dada por expressão simples:
Se x\ge 2, f(x)=x-2. Uma primitiva de x-2 é obtida integrando termo a termo: integral de x é \tfrac{1}{2}x^{2} e de -2 é -2x. Mas é mais conveniente fazer uma substituição simples centrada em x-2: note que \dfrac{d}{dx}\bigl(\tfrac{1}{2}(x-2)^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot 2(x-2)=x-2. Logo uma primitiva em [2,\infty) é
F_1(x)=\tfrac{1}{2}(x-2)^{2}+C_1.
Explicação curta do passo: ao derivar \tfrac{1}{2}(x-2)^{2} usa-se a regra da potência e a regra da cadeia; o 2 cancela com o \tfrac{1}{2}.
Se x<2, f(x)=2-x. Observe que \dfrac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{1}{2}(x-2)^{2}\bigr)=-\tfrac{1}{2}\cdot 2(x-2)=-(x-2)=2-x. Portanto uma primitiva em (-\infty,2) é
F_2(x)=-\tfrac{1}{2}(x-2)^{2}+C_2.
Passo 4
Escolher as constantes de integração e construir F\) global. Em geral primitivas diferem por constantes. Para ter uma primitiva bem comportada costuma-se escolher \(F\) contínua em \(x=2\) (é possível escolher \(C_1\) e \(C_2\) para continuar \(F\) ali). Avaliando as duas expressões em \(x=2\) sem constantes:
\[\tfrac{1}{2}(2-2)^{2}=0,\qquad -\tfrac{1}{2}(2-2)^{2}=0.
Ambas já valem 0 em x=2. Para escolher a primitiva simples e contínua, tomamos C_1=C_2=0. Assim uma primitiva global conveniente é
Verificação rápida da derivada: para x>2\] a derivada de \(\tfrac{1}{2}(x-2)^{2} é x-2, que coincide com f(x); para x<2 a derivada de -\tfrac{1}{2}(x-2)^{2} é 2-x, que também coincide com f(x). No ponto x=2 a derivada não é necessária para a primitiva (o que importa é que F seja diferenciável em todos os pontos onde f é contínua; f é contínua e F é diferenciável fora, e em qualquer caso esta é a primitiva usual escolhida). Observação: qualquer outra primitiva difere desta por uma constante global.]
Passo 5
Calcular o integral definido usando o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f, então
\int_{0}^{5} f(x)\,dx = F(5)-F(0).
Agora avaliamos F(5) e F(0) usando a fórmula piecewise (atenção ao intervalo onde cada ponto está):