Veradero ou falso, 15 seg cada um:
(a) Se f(x) \leq g(x) \Rightarrow \frac{d f(x)}{d x} \leq \frac{d g(x)}{d x}.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
(a) “Se f(x) \leq g(x) então \dfrac{d f(x)}{d x} \leq \dfrac{d g(x)}{d x}.”
Informações dadas:
  • A hipótese é que para todos os x (interpreto como "para todo x" no domínio comum), vale f(x)\le g(x).
  • A conclusão proposta é que, para todos os x no mesmo domínio, vale f'(x)\le g'(x).
    O que precisamos decidir: a implicação é válida em geral?

Passo 2

Vamos lembrar o que é derivada e o que significa cada coisa:
  • A derivada \dfrac{d f(x)}{d x}=f'(x) é a taxa de variação instantânea de f em relação a x: diz se f está subindo, descendo e com que rapidez naquele ponto.
  • A desigualdade f(x)\le g(x) compara alturas (valores das funções) ponto a ponto: diz que o gráfico de f está embaixo (ou no máximo igual) ao gráfico de g.
    Importante: comparar alturas não é o mesmo que comparar inclinações. Não há, a priori, motivo lógico para que uma função sempre mais baixa tenha derivada sempre menor.

Passo 3

Uma maneira sistemática de pensar é definir h(x)=g(x)-f(x). A hipótese f(x)\le g(x) é equivalente a h(x)\ge 0 para todo x.
A conclusão desejada f'(x)\le g'(x) equivale a 0 \le g'(x)-f'(x)=h'(x), ou seja, quer-se que h'(x)\ge 0 para todo x.
Portanto a afirmação seria verdadeira somente se toda função h não negativa tivesse derivada não negativa em todo lugar. Vamos ver se isso é verdade: será que h(x)\ge 0 implica h'(x)\ge 0 sempre? Intuitivamente não: uma função pode ser sempre não negativa e ainda assim diminuir em algumas regiões (pense num “U” deslocado).

Passo 4

Mostro um contraexemplo simples e explico passo a passo (é a melhor técnica em prova quando a afirmação universal for falsa: basta um contraexemplo).
Escolho
f(x)=\sin x e g(x)=\sin x + x^{2}.
Verifico a hipótese:
  • Para todo x, g(x)-f(x)=x^{2}\ge 0. Logo f(x)\le g(x) para todo x. (Isto usa explicitamente que peguei x^{2} da definição de g.)

Passo 5

Calculo as derivadas:
  • f'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)=\cos x.
  • g'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(\sin x + x^{2}\bigr)=\cos x + 2x.
A diferença das derivadas é
g'(x)-f'(x)=\bigl(\cos x+2x\bigr)-\cos x=2x.
Para que a desigualdade f'(x)\le g'(x) valha em um x precisamos de 2x\ge 0, isto é x\ge 0. Mas para x<0 essa desigualdade falha.

Passo 6

Verificação numérica em um ponto concreto (para ficar bem claro):
  • Em x=-1: f'(-1)=\cos(-1)=\cos 1\approx 0,5403.
  • Em x=-1: g'(-1)=\cos(-1)+2(-1)=\cos 1 -2\approx -1,4597.
    Portanto em x=-1 temos f'(-1)\approx 0,5403 > -1,4597\approx g'(-1). Ou seja, apesar de f(x)\le g(x) para todo x, a desigualdade entre derivadas é violada em x=-1.

Passo 7

Conclusão e intuição final:
  • A afirmação é falsa: existe (e demos) um contraexemplo.
  • Intuição curta: saber que uma função está sempre abaixo de outra dá informação sobre alturas, não sobre inclinações. A diferença h=g-f pode ser sempre não negativa e ainda assim ter derivada negativa em regiões (por exemplo h(x)=x^{2} tem h\ge 0 mas h'(x)=2x<0 para x<0).
    Dica para prova: frente a uma afirmação do tipo “se A então B” envolvendo funções, considere formar h=g-f e procure um exemplo simples (polinômio, seno, etc.) que satisfaça A mas viole B. Isso costuma resolver rápido.

Resposta

Falso

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