Veradero ou falso, 15 seg cada um:
(a) Se
.
(a) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
(a) “Se
então
.”
Informações dadas:
- A hipótese é que para todos os
(interpreto como "para todo " no domínio comum), vale . - A conclusão proposta é que, para todos os
no mesmo domínio, vale .
O que precisamos decidir: a implicação é válida em geral?
Passo 2
Vamos lembrar o que é derivada e o que significa cada coisa:
- A derivada
é a taxa de variação instantânea de em relação a : diz se está subindo, descendo e com que rapidez naquele ponto. - A desigualdade
compara alturas (valores das funções) ponto a ponto: diz que o gráfico de está embaixo (ou no máximo igual) ao gráfico de .
Importante: comparar alturas não é o mesmo que comparar inclinações. Não há, a priori, motivo lógico para que uma função sempre mais baixa tenha derivada sempre menor.
Passo 3
Uma maneira sistemática de pensar é definir
. A hipótese
é equivalente a
para todo
.
A conclusão desejada equivale a
, ou seja, quer-se que
para todo
.
Portanto a afirmação seria verdadeira somente se toda função não negativa tivesse derivada não negativa em todo lugar. Vamos ver se isso é verdade: será que
implica
sempre? Intuitivamente não: uma função pode ser sempre não negativa e ainda assim diminuir em algumas regiões (pense num “U” deslocado).
A conclusão desejada
Portanto a afirmação seria verdadeira somente se toda função
Passo 4
Mostro um contraexemplo simples e explico passo a passo (é a melhor técnica em prova quando a afirmação universal for falsa: basta um contraexemplo).
Escolho
e
.
Verifico a hipótese:
- Para todo
, . Logo para todo . (Isto usa explicitamente que peguei da definição de .)
Passo 5
Calculo as derivadas:
-
. -
.
A diferença das derivadas é
Para que a desigualdade
valha em um
precisamos de
, isto é
. Mas para
essa desigualdade falha.
Passo 6
Verificação numérica em um ponto concreto (para ficar bem claro):
- Em
: . - Em
: .
Portanto emtemos . Ou seja, apesar de para todo , a desigualdade entre derivadas é violada em .
Passo 7
Conclusão e intuição final:
- A afirmação é falsa: existe (e demos) um contraexemplo.
- Intuição curta: saber que uma função está sempre abaixo de outra dá informação sobre alturas, não sobre inclinações. A diferença
pode ser sempre não negativa e ainda assim ter derivada negativa em regiões (por exemplo tem mas para ).
Dica para prova: frente a uma afirmação do tipo “se A então B” envolvendo funções, considere formare procure um exemplo simples (polinômio, seno, etc.) que satisfaça A mas viole B. Isso costuma resolver rápido.
Resposta
Falso