Encontrar a massa do sólido com densidade \delta=\delta(x, y, z) e delimitado lateralmente pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4, por cima pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e por baixo pelo plano x y.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a massa do sólido cuja densidade é \delta=\delta(x,y,z) e que é delimitado:
  • lateralmente pelo cilindro \;x^{2}+y^{2}=4;\n
  • por cima pelo paraboloide \;z=x^{2}+y^{2};\n
  • por baixo pelo plano \;z=xy.\n
Informações dadas importantes (retiradas diretamente do enunciado):
  • A região no plano xy projetada pelo sólido é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
  • As superfícies que limitam z são \;z_{\text{top}}=x^{2}+y^{2} e \;z_{\text{bottom}}=xy.
  • A densidade é uma função geral \delta(x,y,z) (não foi dada uma forma explícita), então o resultado deverá ficar em termos de uma integral tripla que envolve \delta.
O que precisa ser respondido: montar (e, quando possível, calcular em casos simples) a expressão para a massa do sólido.

Passo 2

Lembrete do conceito que vamos usar: massa de um sólido com densidade \delta(x,y,z) é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume V:
M=\iiint_{V}\delta(x,y,z)\,dV.
Aqui dV é o elemento de volume em coordenadas cartesianas; mais adiante vamos trocar para coordenadas cilíndricas porque a região tem simetria circular.

Passo 3

Descrever a região V em coordenadas cartesianas (para entender os limites):
  • A projeção de V no plano xy é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\} (pois o cilindro lateral é x^{2}+y^{2}=4).
  • Para cada ponto (x,y) desse disco, o z varia entre z_{\text{min}}=xy,\qquad z_{\text{max}}=x^{2}+y^{2}.
Portanto, em cartesianas:
V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\; xy \le z \le x^{2}+y^{2}\}.

Passo 4

Por que usar coordenadas cilíndricas? O cilindro x^{2}+y^{2}=4 e a presença de x^{2}+y^{2} indicam simetria radial; coordenadas cilíndricas tornam os limites mais simples e introduzem o fator jacobiano r que representa o elemento de área em torno do eixo. As transformações são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad 0\le r\le 2,\qquad 0\le \theta<2\pi.
Em cilíndricas as superfícies ficam:
  • Paraboloide: z = x^{2}+y^{2} = r^{2}.
  • Plano: z = xy = r^{2}\cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta).
Antes de fixar os limites em z, convém checar qual superfície fica em cima e qual embaixo. Comparando:
r^{2}\quad\text{(paraboloide)}\qquad\text{versus}\qquad \tfrac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)\quad\text{(plano)}.
Como \sin(2\theta)\le 1, tem-se \tfrac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)\le \tfrac{1}{2}r^{2}<r^{2}. Logo o paraboloide z=r^{2} está sempre acima do plano z=\tfrac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta) para todo \theta e r>0. Assim os limites em z são coerentes: de z=\tfrac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta) até z=r^{2}.

Passo 5

Escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembre que o elemento de volume em cilíndricas é dV = r\,dz\,dr\,d\theta. Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta dentro de \delta, obtemos a expressão da massa:
M=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=\tfrac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)}^{r^{2}} \delta\bigl(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; z\bigr)\; r\,dz\,dr\,d\theta.
Isto é a resposta geral: uma integral tripla que dá a massa em função da densidade \delta(x,y,z).

Passo 6

Breve explicação do porquê do fator r em dV (jacobiano): ao trocar de variáveis (x,y)\mapsto(r,\theta) tem-se dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Geometricamente, para um anel de raio r e espessura dr a área é aproximadamente 2\pi r\,dr, e o fator r aparece por essa dependência radial. Por isso no volume usamos dV = dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 7

Exemplo prático (caso muito comum): se a densidade for constante \delta(x,y,z)=\delta_{0} (número), podemos calcular a integral explicitamente para ganhar intuição. Substituindo \delta=\delta_{0} na integral:
M=\delta_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{\tfrac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)}^{r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Primeiro integramos em z:
\int_{\tfrac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)}^{r^{2}} r\,dz = r\bigl(r^{2}-\tfrac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)\bigr)=r^{3}\Bigl(1-\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr).
Agora integrar em r:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2}=\frac{16}{4}=4.
Logo a integral em r deixa 4\bigl(1-\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\bigr). Finalmente integra em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\Bigl(1-\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr)\,d\theta = 2\pi - \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta = 2\pi - \tfrac{1}{2}\cdot 0 = 2\pi.
Multiplicando tudo:
M=\delta_{0}\cdot 4\cdot 2\pi = 8\pi\,\delta_{0}.
Observação: o valor 8\pi é o volume da região; assim para densidade unitária a massa é 8\pi.

Passo 8

Outro exemplo (para treinar a técnica): se \delta(x,y,z)=z, então na integral em cilíndricas:
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{\tfrac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)}^{r^{2}} z\; r\,dz\,dr\,d\theta.
Integrando em z:
\int_{a}^{b} z\,dz = \tfrac{1}{2}(b^{2}-a^{2}),\quad\text{com } b=r^{2},\\ a=\tfrac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta).
Segue que a integral em z é \tfrac{1}{2}\bigl(r^{4}-\tfrac{1}{4}r^{4}\sin^{2}(2\theta)\bigr)=\tfrac{r^{4}}{2}\bigl(1-\tfrac{1}{4}\sin^{2}(2\theta)\bigr). Multiplicando por r e integrando em r de 0 a 2 dá um fator \int_{0}^{2}\tfrac{r^{5}}{2}\,dr=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2^{6}}{6}=\tfrac{16}{3}. Finalmente integrando em \theta usando \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}(2\theta)\,d\theta=\pi, obtém-se o valor numérico
M=\frac{28\pi}{3}.
Esse exemplo serve só para mostrar como proceder quando \delta depende das coordenadas.

Resposta

M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{\tfrac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)}^{r^{2}} \delta\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;z\bigr)\; r\,dz\,dr\,d\theta.

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