Existem fórmulas padrão (ou resultados fáceis de obter) para \int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx e \int \dfrac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx. Reescrever o integrando desta forma permite usar essas fórmulas.
Passo 3
Lembrar/derivar as fórmulas que vamos usar (aqui ensino como obtê-las de jeito simples).
Vamos tomar a=6. Duas integrais padrão que usaremos são:
Para \displaystyle \int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx vale a fórmula
Breve derivação (esquemática e intuitiva): faça a substituição hiperbólica x=a\operatorname{sinh} t. Então \sqrt{x^{2}+a^{2}}=a\operatorname{cosh} t e dx=a\operatorname{cosh} t\,dt. A integral vira a^{2}\int \operatorname{cosh}^{2}t\,dt, que se integra com a identidade \operatorname{cosh}^{2}t=(1+\operatorname{cosh} 2t)/2. Voltando a x obtém-se a fórmula acima (constantes ajustadas entram em C).
Para \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} vale a fórmula
Breve explicação: usando a mesma substituição x=a\operatorname{sinh} t tem-se \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\int dt=t+C e t=\operatorname{arsinh}(x/a)=\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr|+\text{const}.
Essas duas fórmulas são muito usadas e fáceis de memorizar (ou derivar rapidamente com x=a\operatorname{sinh} t quando for preciso).
Passo 4
Aplicar as fórmulas aos termos da integral que encontramos no Passo 2.
Para a=6 temos a^{2}=36. Usando a fórmula para \int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx:
A verificação é direta usando regra do produto e que \dfrac{d}{dx}\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+36}\bigr)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+36}}. Isso confirma que a primitiva está correta.