Calcular as integrais:
\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{2}+36}} d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada a integral indefinida \displaystyle \int \frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}+36}}\,dx.
  • A tarefa é calcular essa integral e apresentar a primitiva (mais uma constante de integração).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O integrando tem um polinômio no numerador e uma raiz do tipo \sqrt{x^{2}+a^{2}} no denominador, com a^{2}=36 (logo a=6).
  • Podemos usar manipulações algébricas e fórmulas padrão para integrais envolvendo \sqrt{x^{2}+a^{2}} e 1/\sqrt{x^{2}+a^{2}}.

Passo 2

Simplificar o integrando para usar integrais conhecidas.
  • Observe que 3x^{2}=3(x^{2}+36)-108. Isso é só reescrever 3x^{2} somando e subtraindo 3\cdot36.
  • Então
\frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}+36}} = \frac{3(x^{2}+36)-108}{\sqrt{x^{2}+36}} = 3\sqrt{x^{2}+36}-\frac{108}{\sqrt{x^{2}+36}}.
  • Assim a integral separa em duas integrais mais simples:
\int \frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}+36}}\,dx = 3\int \sqrt{x^{2}+36}\,dx - 108\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+36}}\,dx.
Explicação rápida do porquê disso ajudar:
  • Existem fórmulas padrão (ou resultados fáceis de obter) para \int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx e \int \dfrac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx. Reescrever o integrando desta forma permite usar essas fórmulas.

Passo 3

Lembrar/derivar as fórmulas que vamos usar (aqui ensino como obtê-las de jeito simples).
  • Vamos tomar a=6. Duas integrais padrão que usaremos são:
  1. Para \displaystyle \int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx vale a fórmula
\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr|+C.
Breve derivação (esquemática e intuitiva): faça a substituição hiperbólica x=a\operatorname{sinh} t. Então \sqrt{x^{2}+a^{2}}=a\operatorname{cosh} t e dx=a\operatorname{cosh} t\,dt. A integral vira a^{2}\int \operatorname{cosh}^{2}t\,dt, que se integra com a identidade \operatorname{cosh}^{2}t=(1+\operatorname{cosh} 2t)/2. Voltando a x obtém-se a fórmula acima (constantes ajustadas entram em C).
  1. Para \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} vale a fórmula
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} =\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr|+C.
Breve explicação: usando a mesma substituição x=a\operatorname{sinh} t tem-se \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\int dt=t+C e t=\operatorname{arsinh}(x/a)=\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr|+\text{const}.
  • Essas duas fórmulas são muito usadas e fáceis de memorizar (ou derivar rapidamente com x=a\operatorname{sinh} t quando for preciso).

Passo 4

Aplicar as fórmulas aos termos da integral que encontramos no Passo 2.
  • Para a=6 temos a^{2}=36. Usando a fórmula para \int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx:
\int \sqrt{x^{2}+36}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+36}+\frac{36}{2}\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+36}\bigr|+C.
Portanto
3\int \sqrt{x^{2}+36}\,dx = 3\left(\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+36}+18\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+36}\bigr|\right)+C.
  • Para a segunda integral, usando a fórmula correspondente:
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+36}} = \ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+36}\bigr|+C,
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-108\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+36}} = -108\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+36}\bigr|+C.

Passo 5

Somar os resultados e simplificar os termos semelhantes (especialmente os logaritmos).
  • Juntando as duas partes:
\begin{aligned} \int \frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}+36}}\,dx &= \frac{3x}{2}\sqrt{x^{2}+36}+54\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+36}\bigr|\\\ &\qquad -108\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+36}\bigr| + C. \end{aligned}
  • Os termos logarítmicos somam: 54\ln(\cdot)-108\ln(\cdot)=-54\ln(\cdot). Assim
\int \frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}+36}}\,dx = \frac{3x}{2}\sqrt{x^{2}+36}-54\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+36}\bigr|+C.

Passo 6

Verificação rápida (motivacional — para você confiar no resultado).
  • Diferenciando a resposta obtida deve voltar ao integrando:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3x}{2}\sqrt{x^{2}+36}-54\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+36}\bigr|\right) = \frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}+36}}.
  • A verificação é direta usando regra do produto e que \dfrac{d}{dx}\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+36}\bigr)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+36}}. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{3x}{2}\sqrt{x^{2}+36}-54\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+36}\bigr|+C

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