Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações úteis dadas pelo enunciado:
- A expressão
exige , isto é . Portanto a integral só faz sentido (no real) para ou . - A integral é indefinida (procuramos uma primitiva), então devemos apresentar uma antiderivada mais a constante de integração
. - Não há outros dados; vamos encontrar uma primitiva válida respeitando o domínio
.
Passo 2
Ideia de resolução (motivação didática)
- Quando aparece
é muito comum usar a substituição trigonométrica , porque então o que elimina a raiz e transforma a integral em algo com funções trigonométricas simples. - Aqui
. Então vamos tentar . Antes, vale lembrar que essa substituição cobre o caso (já que ), compatível com o domínio da integral.
Passo 3
Fazendo a substituição
- Defina
Então e tomando quando (mais adiante ajustamos o caso por via da inversa). - Substituindo na integral original:
Passo 4
Simplificação após substituição
- Simplificando o integrando:
- Assim a integral torna-se uma integral trivial em
:
Passo 5
Voltar para a variável
(inversão da substituição)
-
Da substituição
obtemos . Logo Portanto uma primitiva é -
Atenção com o domínio e sinais: a função
costuma ser definida com argumento positivo, e a derivada de envolve . Para garantir que a primitiva seja correta tanto para quanto para é melhor escrever o resultado com valor absoluto no argumento: porquepara .
Passo 6
Justificativa final do valor absoluto (por que é necessário)
- A derivada de
é Com e usando a regra da cadeia (derivada de é ), obtém-se exatamente o integrando para ambos os ramos e . Assim a forma com é a correta e única expressão simples válida em todo o domínio . - Alternativa frequentemente usada (válida em cada ramo separadamente): para
pode-se escrever ou . Para convém manter o ou usar um sinal apropriado; por isso a forma com é mais direta.