Calcular as integrais:
\int \frac{4}{x \cdot \sqrt{x^{2}-9}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{4}{x\cdot\sqrt{x^{2}-9}}\,dx.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
  • A expressão \sqrt{x^{2}-9} exige x^{2}-9>0, isto é |x|>3. Portanto a integral só faz sentido (no real) para x>3 ou x<-3.
  • A integral é indefinida (procuramos uma primitiva), então devemos apresentar uma antiderivada mais a constante de integração C.
  • Não há outros dados; vamos encontrar uma primitiva válida respeitando o domínio |x|>3.

Passo 2

Ideia de resolução (motivação didática)
  • Quando aparece \sqrt{x^{2}-a^{2}} é muito comum usar a substituição trigonométrica x=a\operatorname{sec}\theta, porque então \sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan\theta,o que elimina a raiz e transforma a integral em algo com funções trigonométricas simples.
  • Aqui a=3. Então vamos tentar x=3\operatorname{sec}\theta. Antes, vale lembrar que essa substituição cobre o caso |x|>3 (já que |\operatorname{sec}\theta|\ge1), compatível com o domínio da integral.

Passo 3

Fazendo a substituição x=3\operatorname{sec}\theta
  • Defina x=3\operatorname{sec}\theta.Então dx = 3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\thetae \sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{9\operatorname{sec}^{2}\theta-9}=3\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=3\tan\theta,tomando \tan\theta\ge0 quando x>3 (mais adiante ajustamos o caso x<-3 por via da inversa).
  • Substituindo na integral original: \int \frac{4}{x\cdot\sqrt{x^{2}-9}}\,dx =\int \frac{4}{(3\operatorname{sec}\theta)\cdot(3\tan\theta)}\cdot(3\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta.

Passo 4

Simplificação após substituição
  • Simplificando o integrando: \frac{4}{(3\operatorname{sec}\theta)(3\tan\theta)}\cdot(3\operatorname{sec}\theta\tan\theta) =\frac{4\cdot(3\operatorname{sec}\theta\tan\theta)}{9\operatorname{sec}\theta\tan\theta} =\frac{4}{3}.
  • Assim a integral torna-se uma integral trivial em \theta: \int \frac{4}{x\sqrt{x^{2}-9}}\,dx = \int \frac{4}{3}\,d\theta = \frac{4}{3}\theta + C.

Passo 5

Voltar para a variável x (inversão da substituição)
  • Da substituição x=3\operatorname{sec}\theta obtemos \operatorname{sec}\theta=\dfrac{x}{3}. Logo
    \theta = \operatorname{arcsec}\!\left(\frac{x}{3}\right).
    Portanto uma primitiva é
    \frac{4}{3}\operatorname{arcsec}\!\left(\frac{x}{3}\right)+C.
  • Atenção com o domínio e sinais: a função \operatorname{arcsec} costuma ser definida com argumento positivo, e a derivada de \operatorname{arcsec}(u) envolve |u|. Para garantir que a primitiva seja correta tanto para x>3 quanto para x<-3 é melhor escrever o resultado com valor absoluto no argumento:
    \theta = \operatorname{arcsec}\!\left(\frac{|x|}{3}\right),
    porque \dfrac{|x|}{3}\ge1 para |x|>3.

Passo 6

Justificativa final do valor absoluto (por que é necessário)
  • A derivada de \operatorname{arcsec}(u) é \frac{d}{du}\operatorname{arcsec}(u)=\frac{1}{|u|\sqrt{u^{2}-1}}.Com u=\dfrac{|x|}{3} e usando a regra da cadeia (derivada de |x| é \operatorname{sgn}(x)), obtém-se exatamente o integrando \dfrac{4}{x\sqrt{x^{2}-9}} para ambos os ramos x>3 e x<-3. Assim a forma com |x| é a correta e única expressão simples válida em todo o domínio |x|>3.
  • Alternativa frequentemente usada (válida em cada ramo separadamente): para x>3 pode-se escrever \theta=\operatorname{arcsec}\!\left(\dfrac{x}{3}\right) ou \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{3}{x}\right). Para x<-3 convém manter o |x| ou usar um sinal apropriado; por isso a forma com |x| é mais direta.

Resposta

\frac{4}{3}\operatorname{arcsec}\!\left(\frac{|x|}{3}\right)+C

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