Encontrar um par de coordenadas polares (considere r>0 e 0 \leq \theta<2 \pi ) dos seguintes pontos:
P_{2}\left(\frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto P_{2}\bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\bigr) de coordenadas cartesianas (x,y) para coordenadas polares (r,\theta), sabendo que
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
com r>0 e 0\le\theta<2\pi. Vamos usar as fórmulas
r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x},
e ajustar \theta ao quadrante correto.

Passo 2

Calcular r substituindo x = \tfrac{3}{2} e y = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}:
r = \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{3\sqrt{3}}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = 3.

Passo 3

Como x>0 e y>0, o ponto está no primeiro quadrante, onde \theta = \arctan\bigl(y/x\bigr). Calculamos:
\frac{y}{x} = \frac{\tfrac{3\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{2}} = \sqrt{3},
logo
\theta = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}.

Resposta

As coordenadas polares de P_{2} são (r,\theta) = \bigl(3,\tfrac{\pi}{3}\bigr).

Exercícios relacionados