Encontrar um par de coordenadas polares (considere r>0 e 0 \leq \theta<2 \pi ) dos seguintes pontos:
P_{6}(\sqrt{3},-1)

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas polares (r,\theta) de um ponto P_{6} dado em coordenadas cartesianas (x,y)=(\sqrt{3},-1), com r>0 e 0\le\theta<2\pi. Vamos usar as fórmulas
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},
\theta = \operatorname{atan2}(y,x),
ajustando \theta para o intervalo [0,2\pi) conforme o quadrante.

Passo 2

Calculamos o módulo r:
r = \sqrt{\bigl(\sqrt{3}\bigr)^{2} +(-1)^{2}} = \sqrt{3 + 1} = 2.

Passo 3

Encontramos o ângulo \theta a partir de
\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{-1}{\sqrt{3}},
cuja arctangente principal é
\theta_{0} = \arctan\!\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) = -\tfrac{\pi}{6}.
Como x>0 e y<0, o ponto está no quarto quadrante, e devemos somar 2\pi para obter \theta em [0,2\pi):
\theta = 2\pi + \theta_{0} = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}.

Passo 4

Portanto, o par de coordenadas polares é
(r,\theta) = \Bigl(2,\frac{11\pi}{6}\Bigr).

Resposta

(2,\tfrac{11\pi}{6})

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