Encontrar o ponto crítico e os intervalos de crescimento, decrescimento da função:
f(x)=x^{2}+8 x+16

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=x^{2}+8x+16\; e pede duas coisas:
  1. Encontrar o ponto crítico (ou seja, o(s) valor(es) de x onde a derivada é zero ou não existe, e a coordenada correspondente em f).
  2. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
Informações relevantes que temos diretamente do enunciado:
\;f(x)=x^{2}+8x+16\; é um polinômio quadrático definido para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos calcular a derivada \;f'(x)\; porque a derivada nos diz a inclinação da reta tangente em cada ponto: se \;f'(x)>0\; a função cresce aí, se \;f'(x)<0\; a função decresce aí, e pontos críticos aparecem onde \;f'(x)=0\; ou \;f'(x) não existe.
Regra que usamos (explicando devagar): a regra do poder (power rule) diz que, para g(x)=x^{n}, temos \;g'(x)=n x^{n-1}. Para soma de termos, derivamos termo a termo, e a constante some.
Aplicando isso:
f(x)=x^{2}+8x+16
Derivando termo a termo,
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(8x\big)+\frac{d}{dx}\big(16\big).
Pelo power rule, \frac{d}{dx}(x^{2})=2x. Pela regra da constante vezes x, \frac{d}{dx}(8x)=8. A derivada de constante é zero, \frac{d}{dx}(16)=0. Portanto
f'(x)=2x+8.

Passo 3

Definição de ponto crítico (explicando passo a passo): ponto crítico é um x tal que \;f'(x)=0\; ou \;f'(x) não existe. Aqui \;f'(x)=2x+8\; existe para todo x, então procuramos onde ela se anula.
Resolver \;f'(x)=0\;:
2x+8=0.
Isolando x:
2x=-8 \implies x=-4.
Logo há um único ponto crítico em x=-4.

Passo 4

Agora encontramos a coordenada y correspondente ao ponto crítico calculando \;f(-4)\;:
f(-4)=(-4)^{2}+8(-4)+16=16-32+16.
Fazendo as somas:
16-32=-16,\quad -16+16=0.
Portanto o ponto crítico é o ponto com coordenadas \;(-4,\,0)\;.

Passo 5

Classificar o ponto crítico (mínimo ou máximo) e achar intervalos de crescimento/decrescimento usando o sinal de \;f'(x)=2x+8\;.
Analise do sinal de \;2x+8\;:
  • Se x<-4, pegue por exemplo x=-5: 2(-5)+8=-10+8=-2<0. Assim \;f'(x)<0\; para x<-4, então a função é decrescente em todo o intervalo (-\infty,-4).
  • Se x>-4, pegue por exemplo x=0: 2(0)+8=8>0. Assim \;f'(x)>0\; para x>-4, então a função é crescente em todo o intervalo (-4,\infty).
Como a derivada muda de negativa (à esquerda de -4) para positiva (à direita de -4), o ponto crítico em x=-4 é um mínimo local. Podemos checar rapidamente com a segunda derivada: \;f''(x)=\frac{d}{dx}(2x+8)=2, que é positiva para todo x, o que confirma que o ponto é mínimo.

Passo 6

Verificação alternativa (algebrinha simpática): completar o quadrado para ver a forma canônica do polinômio.
f(x)=x^{2}+8x+16=(x+4)^{2}.
Aqui usei a identidade (x+4)^{2}=x^{2}+8x+16. Como um quadrado (x+4)^{2} é sempre \ge 0, o menor valor é 0 que ocorre quando x=-4. Isso confirma que o vértice é (-4,0) e que a parábola abre para cima (mínimo), portanto decresce até -4 e cresce depois de -4.

Resposta

Ponto crítico: (-4,0)
Intervalo de crescimento: (-4,\infty)
Intervalo de decrescimento: (-\infty,-4)

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