Encontrar o ponto crítico e os intervalos de crescimento, decrescimento da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar o ponto crítico (ou seja, o(s) valor(es) de
onde a derivada é zero ou não existe, e a coordenada correspondente em ). - Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
Informações relevantes que temos diretamente do enunciado:
é um polinômio quadrático definido para todo
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada
porque a derivada nos diz a inclinação da reta tangente em cada ponto: se
a função cresce aí, se
a função decresce aí, e pontos críticos aparecem onde
ou
não existe.
Regra que usamos (explicando devagar): a regra do poder (power rule) diz que, para
, temos
. Para soma de termos, derivamos termo a termo, e a constante some.
Aplicando isso:
Derivando termo a termo,
Pelo power rule,
. Pela regra da constante vezes
,
. A derivada de constante é zero,
. Portanto
Passo 3
Definição de ponto crítico (explicando passo a passo): ponto crítico é um
tal que
ou
não existe. Aqui
existe para todo
, então procuramos onde ela se anula.
Resolver
:
Isolando
:
Logo há um único ponto crítico em
.
Passo 4
Agora encontramos a coordenada
correspondente ao ponto crítico calculando
:
Fazendo as somas:
Portanto o ponto crítico é o ponto com coordenadas
.
Passo 5
Classificar o ponto crítico (mínimo ou máximo) e achar intervalos de crescimento/decrescimento usando o sinal de
.
Analise do sinal de
:
- Se
, pegue por exemplo : . Assim para , então a função é decrescente em todo o intervalo . - Se
, pegue por exemplo : . Assim para , então a função é crescente em todo o intervalo .
Como a derivada muda de negativa (à esquerda de
) para positiva (à direita de
), o ponto crítico em
é um mínimo local. Podemos checar rapidamente com a segunda derivada:
, que é positiva para todo
, o que confirma que o ponto é mínimo.
Passo 6
Verificação alternativa (algebrinha simpática): completar o quadrado para ver a forma canônica do polinômio.
Aqui usei a identidade
. Como um quadrado
é sempre
, o menor valor é
que ocorre quando
. Isso confirma que o vértice é
e que a parábola abre para cima (mínimo), portanto decresce até
e cresce depois de
.
Resposta
Ponto crítico:
Intervalo de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Intervalo de crescimento:
Intervalo de decrescimento: