Um engenheiro agrônomo está monitorando o crescimento em altura de uma nova variedade de milho. Foi estabelecido que, em uma fase especifica de desenvolvimento, a altura média da planta
em centímetros pode ser modelada pela função:
onde
é o tempo em semanas após a germinação. Qual a taxa de Variação Instantânea da planta exatamente na sexta semana?
Passo 1
O enunciado dá a altura média da planta como função do tempo:
onde
é o tempo em semanas. A pergunta é: qual a taxa de Variação Instantânea da planta exatamente na sexta semana? Em termos claros, precisamos encontrar a variação instantânea de
em
.
Passo 2
O que significa “taxa de Variação Instantânea” aqui? É o valor da derivada de
no instante pedido. A derivada em
é definida como o limite do quociente incremental:
Nessa fórmula,
é um pequeno incremento de tempo; o quociente
mede a variação média de altura por unidade de tempo no intervalo de comprimento
; ao fazer
obtemos a variação instantânea.
Passo 3
Vamos aplicar a definição com
. Primeiro calculamos
e
.
Calcule
:
Expandindo:
logo
Somando os outros termos:
Agrupando constantes e termos em
:
Calcule
(basta tomar
):
Agora o quociente incremental:
Fazendo
:
Passo 4
Como alternativa mais rápida (útil na prova), usamos regras de derivação: a derivada de
é
(porque a derivada de
é
, e multiplicando por
fica
); a derivada de
é
; e a derivada de constante é
. Assim:
Avaliar em
:
Passo 5
Interpretação e unidades:
significa que, exatamente na sexta semana, a altura média da planta está aumentando à razão de
centímetros por semana. Em notação com unidade:
Vai tranquilo: na prova, basta calcular
e avaliar em
.