Um engenheiro agrônomo está monitorando o crescimento em altura de uma nova variedade de milho. Foi estabelecido que, em uma fase especifica de desenvolvimento, a altura média da planta (H) em centímetros pode ser modelada pela função:
H(t)=\frac{t^{2}}{2}+5 t+10
onde t é o tempo em semanas após a germinação. Qual a taxa de Variação Instantânea da planta exatamente na sexta semana?

Passo 1

O enunciado dá a altura média da planta como função do tempo:
H(t)=\frac{t^{2}}{2}+5t+10
onde t é o tempo em semanas. A pergunta é: qual a taxa de Variação Instantânea da planta exatamente na sexta semana? Em termos claros, precisamos encontrar a variação instantânea de H em t=6.

Passo 2

O que significa “taxa de Variação Instantânea” aqui? É o valor da derivada de H no instante pedido. A derivada em t_{0} é definida como o limite do quociente incremental:
H'(t_{0})=\lim_{h\to0}\frac{H(t_{0}+h)-H(t_{0})}{h}.
Nessa fórmula, h é um pequeno incremento de tempo; o quociente \dfrac{H(t_{0}+h)-H(t_{0})}{h} mede a variação média de altura por unidade de tempo no intervalo de comprimento h; ao fazer h\to0 obtemos a variação instantânea.

Passo 3

Vamos aplicar a definição com t_{0}=6. Primeiro calculamos H(6+h) e H(6).
Calcule H(6+h):
H(6+h)=\frac{(6+h)^{2}}{2}+5(6+h)+10.
Expandindo:
(6+h)^{2}=36+12h+h^{2},
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\frac{(6+h)^{2}}{2}=18+6h+\frac{h^{2}}{2}.
Somando os outros termos:
H(6+h)=\bigl(18+6h+\tfrac{h^{2}}{2}\bigr)+30+5h+10.
Agrupando constantes e termos em h:
H(6+h)=58+11h+\frac{h^{2}}{2}.
Calcule H(6) (basta tomar h=0):
H(6)=58.
Agora o quociente incremental:
\frac{H(6+h)-H(6)}{h}=\frac{(58+11h+\tfrac{h^{2}}{2})-58}{h}=\frac{11h+\tfrac{h^{2}}{2}}{h}=11+\frac{h}{2}.
Fazendo h\to0:
H'(6)=\lim_{h\to0}\Bigl(11+\frac{h}{2}\Bigr)=11.

Passo 4

Como alternativa mais rápida (útil na prova), usamos regras de derivação: a derivada de \dfrac{t^{2}}{2} é t (porque a derivada de t^{2} é 2t, e multiplicando por \tfrac{1}{2} fica t); a derivada de 5t é 5; e a derivada de constante é 0. Assim:
H'(t)=t+5.
Avaliar em t=6:
H'(6)=6+5=11.

Passo 5

Interpretação e unidades: H'(6)=11 significa que, exatamente na sexta semana, a altura média da planta está aumentando à razão de 11 centímetros por semana. Em notação com unidade:
11\\ \text{cm/semana}.
Vai tranquilo: na prova, basta calcular H'(t) e avaliar em t=6.

Resposta

11\\ \text{cm/semana}

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