Encontrar a solução das equações diferenciais de segunda ordem:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem não-homogênea
Informações dadas:
- A equação é linear de coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio
.
O que se pede: achar a solução geral— isto é, a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada
Método: procurar soluções da forma
. Substituindo dá a equação característica
Agora resolvemos essa equação quadrática. Usamos a fórmula de Bhaskara (ou fatoramos se possível). Calculando o discriminante:
Portanto as raízes são
Isso dá
e
. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Método: coeficientes indeterminados. Como o termo a direita é um polinômio de grau
, tentamos uma solução particular também polinomial de grau
:
onde
,
,
são coeficientes a determinar. Antes de prosseguir, verificamos se algum termo do palpite está na forma de solução da homogênea. As soluções homogêneas são exponenciais
e
, não polinômios, então não há ressonância — podemos manter o palpite polinomial simples.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação diferencial esquerda:
Agora expandimos e agrupamos por potências de
:
Organizando por termos de
,
e constantes:
Esse polinômio deve ser igual ao polinômio do lado direito
. Logo, igualamos coeficientes correspondentes.
Passo 5
Igualando os coeficientes de cada potência de
obtemos o sistema:
Resolvendo passo a passo:
Da primeira equação,
Usando esse
na segunda equação:
Agora usamos
e
na terceira equação para achar
:
Calculemos os termos:
Somando:
Logo
Portanto os coeficientes são
Passo 6
Escrevemos a solução particular encontrada:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.