Encontrar a solução das equações diferenciais de segunda ordem:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-10 y=6 x^{2}+8 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem não-homogênea
y''+3y'-10y=6x^{2}+8x.
Informações dadas:
  • A equação é linear de coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio 6x^{2}+8x.
    O que se pede: achar a solução geral y(x) — isto é, a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada
y''+3y'-10y=0.
Método: procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo dá a equação característica
r^{2}+3r-10=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Usamos a fórmula de Bhaskara (ou fatoramos se possível). Calculando o discriminante:
\Delta=3^{2}-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49.
Portanto as raízes são
r=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{-3\pm7}{2}.
Isso dá r_{1}=2 e r_{2}=-5. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-5x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa
y''+3y'-10y=6x^{2}+8x.
Método: coeficientes indeterminados. Como o termo a direita é um polinômio de grau 2, tentamos uma solução particular também polinomial de grau 2:
y_{p}(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b, c são coeficientes a determinar. Antes de prosseguir, verificamos se algum termo do palpite está na forma de solução da homogênea. As soluções homogêneas são exponenciais e^{2x} e e^{-5x}, não polinômios, então não há ressonância — podemos manter o palpite polinomial simples.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(x)=2ax+b,
y_{p}''(x)=2a.
Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação diferencial esquerda:
y_{p}''+3y_{p}'-10y_{p}=2a+3(2ax+b)-10(ax^{2}+bx+c).
Agora expandimos e agrupamos por potências de x:
2a+6ax+3b-10ax^{2}-10bx-10c.
Organizando por termos de x^{2}, x e constantes:
(-10a)\,x^{2}+(6a-10b)\,x+(2a+3b-10c).
Esse polinômio deve ser igual ao polinômio do lado direito 6x^{2}+8x+0. Logo, igualamos coeficientes correspondentes.

Passo 5

Igualando os coeficientes de cada potência de x obtemos o sistema:
-10a=6,
6a-10b=8,
2a+3b-10c=0.
Resolvendo passo a passo:
Da primeira equação,
a=-\frac{6}{10}=-\frac{3}{5}.
Usando esse a na segunda equação:
6\!\left(-\frac{3}{5}\right)-10b=8
-\frac{18}{5}-10b=8
-10b=8+\frac{18}{5}=\frac{40}{5}+\frac{18}{5}=\frac{58}{5}
b=-\frac{58}{50}=-\frac{29}{25}.
Agora usamos a e b na terceira equação para achar c:
2\!\left(-\frac{3}{5}\right)+3\!\left(-\frac{29}{25}\right)-10c=0.
Calculemos os termos:
2a=-\frac{6}{5}=-\frac{30}{25},\qquad 3b=-\frac{87}{25}.
Somando:
2a+3b=-\frac{30}{25}-\frac{87}{25}=-\frac{117}{25}.
Logo
-\frac{117}{25}-10c=0 \implies -10c=\frac{117}{25}\implies c=-\frac{117}{250}.
Portanto os coeficientes são
a=-\frac{3}{5},\qquad b=-\frac{29}{25},\qquad c=-\frac{117}{250}.

Passo 6

Escrevemos a solução particular encontrada:
y_{p}(x)=-\frac{3}{5}x^{2}-\frac{29}{25}x-\frac{117}{250}.

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-5x}-\frac{3}{5}x^{2}-\frac{29}{25}x-\frac{117}{250},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-5x}-\frac{3}{5}x^{2}-\frac{29}{25}x-\frac{117}{250}

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