Encontrar a solução das equações diferenciais de segunda ordem:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial de segunda ordem
e pede encontrar a solução geral
. Informação relevante dada:
- Coeficientes constantes do lado esquerdo:
(de ), (de ) e (de ). - Termo de não-homogeneidade (lado direito): um polinômio de grau
, . - Objetivo: obter a solução geral, que é a soma da solução da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Encontrar a solução da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). Escrevemos a equação homogênea:
A técnica padrão aqui é assumir uma solução da forma
. Substituindo:
Como
, obtemos a equação característica
Resolvendo essa quadrática (pela fórmula de Bhaskara):
Portanto as raízes são
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinariam condições iniciais, se existissem).
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. Como o lado direito é um polinômio de grau
, a técnica dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados) sugere tentar um polinômio do mesmo grau:
com
a determinar. Antes de aplicar, verificamos se há ressonância: quando a forma proposta para
coincide com uma solução da homogênea, devemos multiplicar por
(onde
é a multiplicidade da raiz correspondente). Aqui a proposta é polinomial, equivalente a tentar termos como
(ou seja, raiz
). A equação característica não tem
(pois
), logo não há ressonância e a escolha
é adequada.
Passo 4
Calculemos
e
e substituímos na equação:
Substituindo em
obtemos (colocando termo a termo):
Agora simplificamos termo a termo (separando potências de
):
Para
:
Para
:
Para constante:
Assim
Passo 5
Igualamos os coeficientes desse polinômio ao polinômio do lado direito,
Resolvendo passo a passo.
Da primeira equação:
Substituindo
:
Agora usamos a terceira equação para
:
Substituindo
e
:
Portanto
Passo 6
Escrevemos a solução particular encontrada:
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
Se você quiser checar rapidamente (na prova, se sobrar tempo), basta derivar essa expressão e substituir na equação original; os termos exponenciais satisfarão a homogênea e o polinômio satisfará a igualdade com
.