Encontrar a solução das equações diferenciais de segunda ordem:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-10 y=6 x^{2}+8 x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de segunda ordem
y'' + 3y' - 10y = 6x^{2} + 8x
e pede encontrar a solução geral y(x). Informação relevante dada:
  • Coeficientes constantes do lado esquerdo: 1 (de y''), 3 (de y') e -10 (de y).
  • Termo de não-homogeneidade (lado direito): um polinômio de grau 2, \;6x^{2}+8x.
  • Objetivo: obter a solução geral, que é a soma da solução da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Encontrar a solução da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). Escrevemos a equação homogênea:
y'' + 3y' - 10y = 0.
A técnica padrão aqui é assumir uma solução da forma y=e^{rx}. Substituindo:
r^{2}e^{rx} + 3r e^{rx} -10 e^{rx}=0 \quad\Rightarrow\quad (r^{2}+3r-10)e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0, obtemos a equação característica
r^{2}+3r-10=0.
Resolvendo essa quadrática (pela fórmula de Bhaskara):
r=\frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4\cdot1\cdot(-10)}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+40}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{-3\pm7}{2}.
Portanto as raízes são
r_{1}=2,\qquad r_{2}=-5.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_{c}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-5x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinariam condições iniciais, se existissem).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) da equação completa. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, a técnica dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados) sugere tentar um polinômio do mesmo grau:
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
com A,B,C a determinar. Antes de aplicar, verificamos se há ressonância: quando a forma proposta para y_{p} coincide com uma solução da homogênea, devemos multiplicar por x^{m} (onde m é a multiplicidade da raiz correspondente). Aqui a proposta é polinomial, equivalente a tentar termos como e^{0x} (ou seja, raiz r=0). A equação característica não tem r=0 (pois 0^{2}+3\cdot0-10=-10\neq0), logo não há ressonância e a escolha Ax^{2}+Bx+C é adequada.

Passo 4

Calculemos y_{p}' e y_{p}'' e substituímos na equação:
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
y_{p}'(x)=2Ax+B,
y_{p}''(x)=2A.
Substituindo em y''+3y'-10y obtemos (colocando termo a termo):
y_{p}''+3y_{p}'-10y_{p}=2A + 3(2Ax+B) -10(Ax^{2}+Bx+C).
Agora simplificamos termo a termo (separando potências de x):
Para x^{2}:
\text{coeficiente de }x^{2}:\quad -10A.
Para x:
\text{coeficiente de }x:\quad 3\cdot 2A -10B = 6A -10B.
Para constante:
\text{termo constante}:\quad 2A + 3B -10C.
Assim
y_{p}''+3y_{p}'-10y_{p} = (-10A)x^{2} + (6A-10B)x + (2A+3B-10C).

Passo 5

Igualamos os coeficientes desse polinômio ao polinômio do lado direito, 6x^{2}+8x+0\). Obtemos o sistema \[\begin{cases} -10A = 6,\\[4pt] 6A -10B = 8,\\[4pt] 2A + 3B -10C = 0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo.
Da primeira equação:
A = \frac{6}{-10} = -\frac{3}{5}.
Substituindo A\] na segunda equação: \[6\Big(-\frac{3}{5}\Big) -10B = 8 \quad\Rightarrow\quad -\frac{18}{5} -10B = 8.\] Isolando \(B:
-10B = 8 + \frac{18}{5} = \frac{40}{5} + \frac{18}{5} = \frac{58}{5},
B = -\frac{58}{50} = -\frac{29}{25}.
Agora usamos a terceira equação para C:
2A + 3B -10C = 0 \quad\Rightarrow\quad -10C = -(2A+3B) \quad\Rightarrow\quad C=\frac{2A+3B}{10}.
Substituindo A=-\tfrac{3}{5} e B=-\tfrac{29}{25}:
2A = -\frac{6}{5} = -\frac{30}{25},\qquad 3B = -\frac{87}{25},
2A+3B = -\frac{30}{25}-\frac{87}{25} = -\frac{117}{25},
C = \frac{-\tfrac{117}{25}}{10} = -\frac{117}{250}.
Portanto
A = -\frac{3}{5},\qquad B = -\frac{29}{25},\qquad C = -\frac{117}{250}.]

Passo 6

Escrevemos a solução particular encontrada:
y_{p}(x) = -\frac{3}{5}x^{2} - \frac{29}{25}x - \frac{117}{250}.
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-5x}-\frac{3}{5}x^{2}-\frac{29}{25}x-\frac{117}{250}.
Se você quiser checar rapidamente (na prova, se sobrar tempo), basta derivar essa expressão e substituir na equação original; os termos exponenciais satisfarão a homogênea e o polinômio satisfará a igualdade com 6x^{2}+8x.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-5x}-\frac{3}{5}x^{2}-\frac{29}{25}x-\frac{117}{250}

Exercícios relacionados