Pelo Método dos Coeficientes a Determinar, resolver as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A equação é linear, com coeficientes constantes.
- O membro não homogêneo é a soma de dois termos:
e (um exponencial e uma constante). - Queremos a solução geral
, que é a soma da solução da homogênea (complementar) e de uma solução particular.
Passo 2
Vamos primeiro achar a solução da equação homogênea associada:
Técnica usada: procurar soluções da forma
, onde
é um número (isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica — a chamada equação característica). Substituindo
obtemos
Agora resolvemos essa equação quadrática. Ela fatoriza como
Portanto as raízes são
e
. Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da homogênea é
Aqui,
e
são constantes arbitrárias. Assim
Explicação breve do que isso significa: a parte homogênea captura todos os modos “livres” da equação; as constantes
serão ajustadas por condições iniciais, se houver.
Passo 3
Agora vamos achar uma solução particular
da equação completa. Método a usar: Método dos Coeficientes a Determinar (undetermined coefficients). Ideia chave: como o lado direito é uma combinação de funções “simples” (exponenciais, polinômios, senos/cossenos), tentamos uma combinação de funções do mesmo tipo com constantes desconhecidas que vamos determinar substituindo na equação.
Regras práticas para escolher o formato da tentativa:
- Para um termo
tenta-se , salvo se já for solução da homogênea. Se for (resonância), multiplica por tantas vezes quanto a multiplicidade da raiz na característica. - Para um polinômio de grau
tenta-se um polinômio de grau . - Para termos como
usa-se .
Aqui o membro não homogêneo é
. Pelo princípio da superposição podemos achar uma solução particular como soma de duas partes: uma para
e outra para
. Ou seja,
.
Antes de escolher as formas, checamos se
ou
(para a constante) são raízes da equação característica. As raízes da característica são
e
; portanto nem
nem
são raízes, logo não há ressonância e podemos usar a forma básica:
- Para
tentar com constante a determinar. - Para
(constante) tentar com constante a determinar.
Passo 4
Determinar
para
.
Calcule derivadas:
Substituímos na equação diferencial (aplicando o operador
):
Fatorando
:
Queremos que isso seja igual ao termo
do lado direito. Portanto
Logo
Passo 5
Determinar
para
(constante que tenta compensar o termo
).
Derivadas:
Substituindo:
Queremos que isso seja igual a
. Assim
Passo 6
Combinar as duas partes particulares encontradas. Temos
logo a solução particular total é
Pela linearidade, a solução geral da equação não homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Verificação rápida (só para garantir que não cometemos erro):
- Aplicando o operador a
obtivemos , conforme calculado. - Aplicando o operador a
obtivemos .
Como o operador é linear, a soma produz exatamente. Então a solução geral acima está correta.