Pelo Método dos Coeficientes a Determinar, resolver as equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=4 e^{2 x}-9

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''-2y'-3y=4e^{2x}-9.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes.
  • O membro não homogêneo é a soma de dois termos: 4e^{2x} e -9 (um exponencial e uma constante).
  • Queremos a solução geral y(x), que é a soma da solução da homogênea (complementar) e de uma solução particular.

Passo 2

Vamos primeiro achar a solução da equação homogênea associada:
y''-2y'-3y=0.
Técnica usada: procurar soluções da forma y=e^{rx}, onde r é um número (isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica — a chamada equação característica). Substituindo y=e^{rx} obtemos
r^2-2r-3=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Ela fatoriza como
r^2-2r-3=(r-3)(r+1).
Portanto as raízes são r=3 e r=-1. Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
Aqui, C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Assim
y_h(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x}.
Explicação breve do que isso significa: a parte homogênea captura todos os modos “livres” da equação; as constantes C_1,C_2 serão ajustadas por condições iniciais, se houver.

Passo 3

Agora vamos achar uma solução particular y_p(x) da equação completa. Método a usar: Método dos Coeficientes a Determinar (undetermined coefficients). Ideia chave: como o lado direito é uma combinação de funções “simples” (exponenciais, polinômios, senos/cossenos), tentamos uma combinação de funções do mesmo tipo com constantes desconhecidas que vamos determinar substituindo na equação.
Regras práticas para escolher o formato da tentativa:
  • Para um termo Ae^{\alpha x} tenta-se y_p = a e^{\alpha x}, salvo se e^{\alpha x} já for solução da homogênea. Se for (resonância), multiplica por x tantas vezes quanto a multiplicidade da raiz na característica.
  • Para um polinômio de grau n tenta-se um polinômio de grau n.
  • Para termos como e^{\alpha x}\cos(\beta x) usa-se e^{\alpha x}(P\cos(\beta x)+Q\sin(\beta x)).
Aqui o membro não homogêneo é 4e^{2x}-9. Pelo princípio da superposição podemos achar uma solução particular como soma de duas partes: uma para 4e^{2x} e outra para -9. Ou seja, y_p=y_{p1}+y_{p2}.
Antes de escolher as formas, checamos se \alpha=2 ou \alpha=0 (para a constante) são raízes da equação característica. As raízes da característica são 3 e -1; portanto nem 2 nem 0 são raízes, logo não há ressonância e podemos usar a forma básica:
  • Para 4e^{2x} tentar y_{p1}=A e^{2x} com A constante a determinar.
  • Para -9 (constante) tentar y_{p2}=B com B constante a determinar.

Passo 4

Determinar A para y_{p1}=A e^{2x}.
Calcule derivadas:
y_{p1}' = 2A e^{2x},\qquad y_{p1}'' = 4A e^{2x}.
Substituímos na equação diferencial (aplicando o operador L[y]=y''-2y'-3y):
L[y_{p1}] = y_{p1}'' - 2y_{p1}' - 3y_{p1} = 4A e^{2x} - 2(2A e^{2x}) - 3(A e^{2x}).
Fatorando e^{2x}:
L[y_{p1}] = (4A - 4A - 3A)e^{2x}=(-3A)e^{2x}.
Queremos que isso seja igual ao termo 4e^{2x} do lado direito. Portanto
-3A e^{2x} = 4 e^{2x}\quad\Rightarrow\quad -3A = 4.
Logo
A = -\frac{4}{3}.

Passo 5

Determinar B para y_{p2}=B (constante que tenta compensar o termo -9).
Derivadas:
y_{p2}'=0,\qquad y_{p2}''=0.
Substituindo:
L[y_{p2}] = 0 - 2\cdot 0 - 3B = -3B.
Queremos que isso seja igual a -9. Assim
-3B = -9 \quad\Rightarrow\quad B=3.

Passo 6

Combinar as duas partes particulares encontradas. Temos
y_{p1}(x) = -\frac{4}{3} e^{2x},\qquad y_{p2}(x)=3,
logo a solução particular total é
y_p(x)= -\frac{4}{3} e^{2x} + 3.
Pela linearidade, a solução geral da equação não homogênea é
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x}-\frac{4}{3} e^{2x}+3,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 7

Verificação rápida (só para garantir que não cometemos erro):
  • Aplicando o operador a -\tfrac{4}{3}e^{2x} obtivemos -3\cdot(-\tfrac{4}{3})e^{2x}=4e^{2x}, conforme calculado.
  • Aplicando o operador a 3 obtivemos -3\cdot 3=-9.
    Como o operador é linear, a soma produz exatamente 4e^{2x}-9. Então a solução geral acima está correta.

Resposta

y(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x}-\frac{4}{3}e^{2x}+3

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