Encontrar a solução das equações diferenciais de segunda ordem:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-12 y=15 x+5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
y'' + 4y' - 12y = 15x + 5.
Informações dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com termos constantes nos coeficientes.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é o polinômio \;15x+5\; (grau 1).
  • Queremos a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Estratégia de solução (explicada de forma simples):
  • Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y'' + 4y' - 12y = 0
para obter a solução homogênea y_h(x). Isso se faz usando a equação característica: substituímos y=e^{rx} e obtemos uma equação algébrica em r.
  • Depois procuramos uma solução particular y_p(x) da equação completa. Como o termo à direita é um polinômio de grau 1, vamos tentar um polinômio de grau 1 como palpite: y_p(x)=ax+b. Esse método chama-se coeficientes indeterminados: suponho uma forma para y_p com constantes desconhecidas e determino essas constantes substituindo na equação e igualando coeficientes.

Passo 3

Resolver a equação homogênea. Montamos a equação característica substituindo y=e^{rx}:
r^2 + 4r - 12 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Calculamos o discriminante e as raízes:
\Delta = 4^2 - 4\cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64,
r = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}.
As raízes são
r_1 = \frac{-4+8}{2} = 2,\qquad r_2 = \frac{-4-8}{2} = -6.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-6x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Procurar uma solução particular y_p(x). O lado direito é um polinômio de grau 1, \;15x+5. Por isso tentamos um palpite polinomial de grau 1:
y_p(x) = ax + b,
onde a e b são constantes a determinar. Agora calculamos as derivadas necessárias:
y_p'(x) = a,\qquad y_p''(x) = 0.
Substituímos y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial:
y_p'' + 4y_p' - 12y_p = 0 + 4a - 12(ax + b).
Simplificando:
4a - 12ax - 12b.
Esse resultado deve ser igual ao lado direito \;15x+5. Portanto igualamos os coeficientes dos termos em x e os termos constantes.

Passo 5

Igualando coeficientes do polinômio obtido:
  • Coeficiente de x: -12a = 15. Então
a = \frac{15}{-12} = -\frac{5}{4}.
  • Termo constante: 4a - 12b = 5. Substituindo a:
4\left(-\frac{5}{4}\right) - 12b = 5 \quad\Rightarrow\quad -5 - 12b = 5.
Isolando b:
-12b = 10 \quad\Rightarrow\quad b = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}.
Portanto a solução particular é
y_p(x) = -\frac{5}{4}x - \frac{5}{6}.

Passo 6

Montar a solução geral juntando homogênea e particular. A solução geral da equação completa é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-6x} - \frac{5}{4}x - \frac{5}{6},
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-6x}-\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}

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