Encontrar a solução das equações diferenciais de segunda ordem:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
Informações dadas:
- A equação é linear, de segunda ordem, com termos constantes nos coeficientes.
- O termo não homogêneo (lado direito) é o polinômio
(grau ). - Queremos a solução geral
, que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Estratégia de solução (explicada de forma simples):
- Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
para obter a solução homogênea
. Isso se faz usando a equação característica: substituímos
e obtemos uma equação algébrica em
.
- Depois procuramos uma solução particular
da equação completa. Como o termo à direita é um polinômio de grau , vamos tentar um polinômio de grau como palpite: . Esse método chama-se coeficientes indeterminados: suponho uma forma para com constantes desconhecidas e determino essas constantes substituindo na equação e igualando coeficientes.
Passo 3
Resolver a equação homogênea. Montamos a equação característica substituindo
:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Calculamos o discriminante e as raízes:
As raízes são
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Procurar uma solução particular
. O lado direito é um polinômio de grau
,
. Por isso tentamos um palpite polinomial de grau
:
onde
e
são constantes a determinar. Agora calculamos as derivadas necessárias:
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Portanto igualamos os coeficientes dos termos em
e os termos constantes.
Passo 5
Igualando coeficientes do polinômio obtido:
- Coeficiente de
: . Então
- Termo constante:
. Substituindo :
Isolando
:
Portanto a solução particular é
Passo 6
Montar a solução geral juntando homogênea e particular. A solução geral da equação completa é
com
e
constantes arbitrárias.