Encontrar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^{\prime}+6 y=5

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' + 6y = 5.
Esse é um caso de equação linear do tipo
y' + p(x)\,y = q(x)
com p(x)=6 e q(x)=5. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\bigl(\!\int 6\,dx\bigr) = e^{6x}.
Multiplicamos toda a equação original por \mu(x), obtendo
e^{6x}y' + 6e^{6x}y = 5e^{6x}.
O lado esquerdo é justamente a derivada de e^{6x}y:

Passo 3

Escrevemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{6x}y\bigr) = 5e^{6x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{6x}y = \int 5e^{6x}\,dx = \frac{5}{6}e^{6x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, dividimos por e^{6x}:
y = \frac{5}{6} + C e^{-6x}.

Resposta

y = C\,e^{-6x} + \frac{5}{6},
onde C é constante arbitrária.

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