Encontrar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
4 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
4\,y'+y=0
Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem, homogênea, com coeficientes constantes. Podemos resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, colocamos a EDO em forma padrão dividindo por 4:
y'+\frac{1}{4}y=0.
Isso mostra que
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{4}\,y.

Passo 3

Aplicamos separação de variáveis, escrevendo
\frac{dy}{y}=-\frac{1}{4}\,dx.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
\int\frac{1}{y}\,dy=\int -\frac{1}{4}\,dx
o que dá
\ln\bigl|y\bigr|=-\frac{x}{4}+C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados obtemos
\bigl|y\bigr|=e^{C_1}e^{-x/4}.
Como e^{C_1} é uma constante positiva arbitrária, podemos definir C=\pm e^{C_1} e escrever a solução geral como
y(x)=C\,e^{-x/4},
onde C é constante real.

Resposta

y(x)=C\,e^{-x/4},\quad C\in\mathbb{R}.

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