Encontrar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^{\prime}-7 t y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' - 7t\,y = 0.
Este é um caso homogêneo e separável, pois podemos escrever y' como \tfrac{dy}{dt} e agrupar y de um lado e t do outro.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
\frac{dy}{dt} = 7t\,y.
Agora separamos variáveis:
\frac{1}{y}\,dy = 7t\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 7t\,dt
\ln\lvert y\rvert = \frac{7}{2}\,t^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciamos para isolar y:
\lvert y\rvert = e^{\frac{7}{2}t^2 + C} = e^C\,e^{\frac{7}{2}t^2}.
Chamando A = \pm e^C (constante arbitrária), obtemos
y = A\,e^{\frac{7}{2}t^2}.

Resposta

A solução geral é
y(t) = A\,e^{\frac{7}{2}t^2},
onde A é uma constante real arbitrária.

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