Resolver o problema de valor inicial 2 y^{\prime}-5 t y=0, y(0)=2.

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem
2y' - 5t\,y = 0
com a condição inicial y(0)=2. O método mais direto aqui é usar separação de variáveis, pois a equação pode ser colocada na forma \frac{dy}{dt} = g(t)\,y.

Passo 2

Reescrevendo a equação de modo a isolar y', obtemos
2\,\frac{dy}{dt} = 5\,t\,y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt} = \frac{5}{2}\,t\,y.

Passo 3

Agora separamos as variáveis y e t:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{5}{2}\,t\,dt.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{5}{2}\,t\,dt
\ln y = \frac{5}{2}\,\frac{t^2}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad \ln y = \frac{5}{4}\,t^2 + C,
onde C é constante de integração. Aplicando exponencial em ambos os lados,
y = e^{\ln y} = e^{\frac{5}{4}t^2 + C} = e^C\,e^{\frac{5}{4}t^2}.
Chamando e^C de A, temos
y(t) = A\,e^{\frac{5}{4}t^2}.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=2:
y(0) = A\,e^{\frac{5}{4}\cdot0^2} = A = 2.
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A = 2 \quad\Longrightarrow\quad y(t) = 2\,e^{\frac{5}{4}t^2}.

Resposta

y(t) = 2\,e^{\frac{5}{4}t^2}.

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