Encontrar t_{c} tal que P\left(-t_{c}<t_{23}<t_{c}\right)=0,90.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar t_{c} tal que
P\bigl(-t_{c}<t_{23}<t_{c}\bigr)=0,90.
Informações dadas e claras:
  • A variável aleatória é t_{23}, ou seja, uma variável com distribuição t de Student com \nu=23 graus de liberdade.
  • Quer-se o valor simétrico t_{c}>0 que centraliza 90\% da probabilidade ao seu redor.

Passo 2

Entendendo a ideia (passo didático): a distribuição t é simétrica em torno de zero. Para uma quantidade central 90\% a área total das duas caudas é 10\%. Como a simetria divide igualmente as caudas, cada cauda tem área 5\%. Em linguagem de quantis isso significa que o ponto t_{c} satisfaz
P\bigl(t_{23}<t_{c}\bigr)=0,95,
porque a área à esquerda de t_{c} é 0,90 (área central) mais 0,05 (cauda esquerda) = 0,95.

Passo 3

Formalizando com símbolos de nível de significância: defina \alpha=0,10 (porque 1-0,90=0,10). Para o intervalo simétrico de nível 1-\alpha vale a relação geral
t_{c}=t_{1-\alpha/2,\nu}.
Substituindo \alpha=0,10 e \nu=23 obtemos
t_{c}=t_{0,95,\,23}.

Passo 4

Como obter numericamente t_{0,95,\,23}:
  • Usando uma tabela da distribuição t: procurar a linha \nu=23 e a coluna correspondente a probabilidade à esquerda 0,95 (ou, equivalente, probabilidade de cauda direita 0,05).
  • Usando uma calculadora estatística ou software: pedir o quantil inverso da t-dist com \nu=23 para p=0,95, por exemplo função \text{qt}(0,95,23) em R.
A partir da tabela / cálculo obtém-se o valor
t_{c}\approx 1,714.

Passo 5

Comentário pedagógico curto: note que esse valor é um pouco maior que o quantil normal z_{0,95}=1,645 porque a distribuição t tem caudas mais pesadas; com mais graus de liberdade o t se aproxima do normal.

Resposta

t_{c}\approx 1,714

Exercícios relacionados