Inverta a ordem de integração das seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
e pede para inverter a ordem de integração.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Os limites internos são
de a . - Os limites externos são
de a .
O que se pede: escrever a mesma integral com a ordem(ou seja, primeiro integrar em e depois em ).
Passo 2
Interpretando os limites como desigualdades que definem a região
no plano
:
- A condição
vem do limite externo. - A condição
vem do limite interno.
Portanto a região é
Em palavras: é o triângulo no quadrado unitário formado pelos vértices
,
e
; são todos os pontos do quadrado unitário que satisfazem
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração devemos descrever
trocando a ordem: fixamos
e expressamos os valores possíveis de
em função de
.
Da descrição obtemos:
Da descrição
-
varia de até (pois o maior possível ocorre quando , então ). - Para um
fixo (com ), varia de até .
Logo os limites invertidos sãode a e, para cada , de a .
Passo 4
Escrevendo a integral com a ordem invertida:
Isso é simplesmente a mesma integral sobre
, apenas trocando a ordem de integração.
Passo 5
Vou aproveitar para mostrar como avaliar a integral após inverter a ordem (útil na prova para confirmar e também porque fica mais fácil integrar em
):
- Inner integral (em
), tratando como constante:
Como
quando
é constante, aqui
. Então
- Agora integrar em
de a :
Calcule cada termo:
-
. Note que , logo
-
. Use a substituição , então e . Quando temos ; quando temos . Assim
Substituindo: