Inverta a ordem de integração das seguintes integrais:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} x^{2} e^{x y} d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{y} x^{2} e^{x y}\,dx\,dy
e pede para inverter a ordem de integração.
Informações fornecidas:
  • Os limites internos são x de 0 a y.
  • Os limites externos são y de 0 a 1.
    O que se pede: escrever a mesma integral com a ordem dy\,dx (ou seja, primeiro integrar em y e depois em x).

Passo 2

Interpretando os limites como desigualdades que definem a região R no plano xy:
  • A condição 0\le y\le 1 vem do limite externo.
  • A condição 0\le x\le y vem do limite interno.
    Portanto a região é
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le y\le 1\}.
Em palavras: é o triângulo no quadrado unitário formado pelos vértices (0,0), (0,1) e (1,1); são todos os pontos do quadrado unitário que satisfazem x\le y.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração devemos descrever R trocando a ordem: fixamos x e expressamos os valores possíveis de y em função de x.
Da descrição 0\le x\le y\le 1 obtemos:
  • x varia de 0 até 1 (pois o maior x possível ocorre quando y=1, então x\le 1).
  • Para um x fixo (com 0\le x\le 1), y varia de y=x até y=1.
    Logo os limites invertidos são x de 0 a 1 e, para cada x, y de x a 1.

Passo 4

Escrevendo a integral com a ordem invertida:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{y} x^{2} e^{x y}\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\int_{x}^{1} x^{2} e^{x y}\,dy\,dx.
Isso é simplesmente a mesma integral sobre R, apenas trocando a ordem de integração.

Passo 5

Vou aproveitar para mostrar como avaliar a integral após inverter a ordem (útil na prova para confirmar e também porque fica mais fácil integrar em y):
  • Inner integral (em y), tratando x como constante:
\int_{x}^{1} x^{2} e^{x y}\,dy = x^{2}\int_{x}^{1} e^{x y}\,dy.
Como \int e^{a y}\,dy = \dfrac{1}{a}e^{a y} quando a é constante, aqui a=x. Então
x^{2}\int_{x}^{1} e^{x y}\,dy = x^{2}\left[\frac{1}{x}e^{x y}\right]_{y=x}^{y=1} = x\left(e^{x}-e^{x^{2}}\right).
  • Agora integrar em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x\left(e^{x}-e^{x^{2}}\right)\,dx = \int_{0}^{1} x e^{x}\,dx \;-\; \int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx.
Calcule cada termo:
  1. \displaystyle \int_{0}^{1} x e^{x}\,dx. Note que \dfrac{d}{dx}\big((x-1)e^{x}\big)=x e^{x}, logo
\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx = \big[(x-1)e^{x}\big]_{0}^{1} = (0\cdot e^{1}) -((-1)e^{0}) = 1.
  1. \displaystyle \int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx. Use a substituição u=x^{2}, então du=2x\,dx e x\,dx=\dfrac{1}{2}du. Quando x=0 temos u=0; quando x=1 temos u=1. Assim
\int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \frac{1}{2}\big[e^{u}\big]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(e-1).
Substituindo:
\int_{0}^{1} x\left(e^{x}-e^{x^{2}}\right)\,dx = 1 - \frac{1}{2}(e-1) = \frac{3-e}{2}.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{0}^{y} x^{2} e^{x y}\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\int_{x}^{1} x^{2} e^{x y}\,dy\,dx
\text{(valor da integral)}\quad \frac{3-e}{2}

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