Inverta a ordem de integração das seguintes integrais:
\int_{0}^{2 \sqrt{\ln 3}} \int_{y / 2}^{\sqrt{\ln 3}} e^{x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{2 \sqrt{\ln 3}} \int_{y / 2}^{\sqrt{\ln 3}} e^{x^{2}}\, dx\, dy.
Informações dadas:
  • A variável externa é y com 0 \le y \le 2\sqrt{\ln 3}.
  • A variável interna é x com x variando de x=\dfrac{y}{2} até x=\sqrt{\ln 3}.
  • A função integranda é e^{x^{2}}.
A tarefa é reescrever a mesma integral trocando a ordem: integrar primeiro em y e depois em x, obtendo limites equivalentes.

Passo 2

Interpretação geométrica da região de integração. A integral dupla original corresponde à região
R=\{(x,y)\mid 0 \le y \le 2\sqrt{\ln 3},\\ \dfrac{y}{2}\le x \le \sqrt{\ln 3}\}.
Vou transformar essas desigualdades para descrevê-las de forma conveniente quando fixamos x. A desigualdade x \ge \dfrac{y}{2} é equivalente a
y \le 2x.
Portanto a região R pode ser escrita também como
R=\{(x,y)\mid 0 \le y \le 2\sqrt{\ln 3},\\ y \le 2x,\\ x \le \sqrt{\ln 3}\}.

Passo 3

Projetando R sobre o eixo x (ou seja, encontrando o intervalo possível de x):
  • O menor valor de x ocorre quando y é pequeno; da desigualdade x\ge \dfrac{y}{2} e com y\ge 0 segue que o mínimo possível é x=0.
  • O maior valor de x é dado pelo limite superior x=\sqrt{\ln 3} (presente na desigualdade original).
Logo a projeção de R no eixo x é o intervalo
0 \le x \le \sqrt{\ln 3}.

Passo 4

Para um x fixo em [0,\sqrt{\ln 3}], quais valores de y pertencem a R?
Das condições temos simultaneamente 0 \le y \le 2\sqrt{\ln 3} e y \le 2x. Para x neste intervalo vale 2x \le 2\sqrt{\ln 3}, portanto a condição mais restritiva é y \le 2x. Assim, para cada x fixo:
0 \le y \le 2x.

Passo 5

Com os limites em termos de x e y reorganizados, a integral com a ordem trocada (integrar primeiro em y e depois em x) fica
\int_{0}^{\sqrt{\ln 3}} \int_{0}^{2x} e^{x^{2}}\, dy\, dx.

Resposta

\int_{0}^{\sqrt{\ln 3}} \int_{0}^{2x} e^{x^{2}}\, dy\, dx

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