Inverta a ordem de integração das seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
Informações dadas:
- A variável externa é
com . - A variável interna é
com variando de até . - A função integranda é
.
A tarefa é reescrever a mesma integral trocando a ordem: integrar primeiro em
e depois em
, obtendo limites equivalentes.
Passo 2
Interpretação geométrica da região de integração. A integral dupla original corresponde à região
Vou transformar essas desigualdades para descrevê-las de forma conveniente quando fixamos
. A desigualdade
é equivalente a
Portanto a região
pode ser escrita também como
Passo 3
Projetando
sobre o eixo
(ou seja, encontrando o intervalo possível de
):
- O menor valor de
ocorre quando é pequeno; da desigualdade e com segue que o mínimo possível é . - O maior valor de
é dado pelo limite superior (presente na desigualdade original).
Logo a projeção de
no eixo
é o intervalo
Passo 4
Para um
fixo em
, quais valores de
pertencem a
?
Das condições temos simultaneamente e
. Para
neste intervalo vale
, portanto a condição mais restritiva é
. Assim, para cada
fixo:
Das condições temos simultaneamente
Passo 5
Com os limites em termos de
e
reorganizados, a integral com a ordem trocada (integrar primeiro em
e depois em
) fica