Encontrar todos os pontos críticos
. Separe pontos de máximo, mínimo e de sela. Aplique o teste (4.5)
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede que encontremos todos os pontos críticos (ou seja, os pontos onde
e
) para a função dada e que classifiquemos cada ponto como máximo, mínimo ou ponto de sela usando o teste (4.5). A função que temos é
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
está acima. - Precisamos achar todos os pontos
tais que e . - Depois, aplicar o teste baseado nas segundas derivadas (teste com determinante da Hessiana) para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais primeiras de
. Lembre que para calcular a derivada parcial em relação a
tratamos
como constante, e para a derivada parcial em relação a
tratamos
como constante. Usamos estas regras básicas de derivação: a derivada de
em relação a
é
, a de
em relação a
é
(pois
é constante), e assim por diante.
Cálculo:
Passo 3
Agora impomos as condições de ponto crítico:
Simplifico dividindo a primeira equação por
(para facilitar):
Resolvendo: da primeira equação temos
. Substituindo em
dá
. Portanto existe um único ponto crítico:
Passo 4
Para classificar o ponto crítico usamos o teste das segundas derivadas (teste (4.5)). Primeiro calculamos as segundas derivadas parciais:
O teste usa o determinante da Hessiana (às vezes chamado
):
A interpretação é:
- Se
e então ponto crítico é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 5
Avalio
usando as segundas derivadas calculadas (elas são constantes aqui porque
é quadrática):
Como
, o teste indica que o ponto crítico
é um ponto de sela. (Para informação adicional, o valor da função nesse ponto é
, mas isso não altera a classificação.)
Resposta
Mínimos locais: nenhum\nMáximos locais: nenhum\nPontos de sela:
(com
)