Encontrar todos os pontos críticos \left(f_{x}=0=f_{y}\right). Separe pontos de máximo, mínimo e de sela. Aplique o teste (4.5)
(b) x^{2}+4 x y+3 y^{2}-6 x-12 y.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos todos os pontos críticos (ou seja, os pontos onde f_x=0 e f_y=0) para a função dada e que classifiquemos cada ponto como máximo, mínimo ou ponto de sela usando o teste (4.5). A função que temos é
f(x,y)=x^{2}+4xy+3y^{2}-6x-12y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x,y) está acima.
  • Precisamos achar todos os pontos (x,y) tais que \;f_x(x,y)=0 e \;f_y(x,y)=0.
  • Depois, aplicar o teste baseado nas segundas derivadas (teste com determinante da Hessiana) para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais primeiras de f. Lembre que para calcular a derivada parcial em relação a x tratamos y como constante, e para a derivada parcial em relação a y tratamos x como constante. Usamos estas regras básicas de derivação: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x, a de 4xy em relação a x é 4y (pois y é constante), e assim por diante.
Cálculo:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+4xy+3y^{2}-6x-12y\bigr)=2x+4y-6,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+4xy+3y^{2}-6x-12y\bigr)=4x+6y-12.

Passo 3

Agora impomos as condições de ponto crítico: f_x=0\) e \(f_y=0\). Obtemos o sistema linear \[\begin{cases} 2x+4y-6=0,\\[4pt] 4x+6y-12=0. \end{cases}
Simplifico dividindo a primeira equação por 2\] e a segunda por \[2 (para facilitar):
\begin{cases} x+2y=3,\\[4pt] 2x+3y=6. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação temos \;x=3-2y\]. Substituo na segunda: \[2(3-2y)+3y=6 \quad\Rightarrow\quad 6-4y+3y=6 \quad\Rightarrow\quad -y=0.\] Logo \(\;y=0. Substituindo em \;x=3-2y \;x=3. Portanto existe um único ponto crítico:
(x,y)=(3,0).]

Passo 4

Para classificar o ponto crítico usamos o teste das segundas derivadas (teste (4.5)). Primeiro calculamos as segundas derivadas parciais:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(2x+4y-6)=2,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(4x+6y-12)=6,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2x+4y-6)=4.
O teste usa o determinante da Hessiana (às vezes chamado D):
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
A interpretação é:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então ponto crítico é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 5

Avalio D usando as segundas derivadas calculadas (elas são constantes aqui porque f é quadrática):
D = (2)(6)-(4)^{2}=12-16=-4.
Como D=-4<0, o teste indica que o ponto crítico (3,0) é um ponto de sela. (Para informação adicional, o valor da função nesse ponto é \;f(3,0)=3^{2}+4\cdot3\cdot0+3\cdot0^{2}-6\cdot3-12\cdot0=9-18=-9, mas isso não altera a classificação.)

Resposta

Mínimos locais: nenhum\nMáximos locais: nenhum\nPontos de sela: (3,0) (com f(3,0)=-9)

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