Encontrar todos os pontos críticos
. Separe pontos de máximo, mínimo e de sela. Aplique o teste (4.5)
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- Encontrar todos os pontos críticos, ou seja, todas as soluções do sistema
e . - Classificar cada ponto crítico como máximo, mínimo ou ponto de sela, usando o teste indicado (teste das segundas derivadas, referido como (4.5)).
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais primeiras. Lembre que a derivada parcial em relação a
trata
como constante, e a derivada parcial em relação a
trata
como constante.
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
Dividindo ambas as equações por
em
dá
. Logo há apenas um ponto crítico:
Passo 4
Agora vamos aplicar o teste das segundas derivadas (o tal teste (4.5)). Preciso explicar bem esse teste:
- Calcule as segundas derivadas parciais:
. - Defina o discriminante (determinante do Hessiano) em um ponto crítico:
- Interpretação:
- Se
e então o ponto crítico é um mínimo local. - Se
e então o ponto crítico é um máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Essas regras vêm do fato que, perto de um ponto crítico, a função é aproximada por uma forma quadrática dada pelas segundas derivadas; o sinal dessa forma quadrática decide se é min, max ou sela.
Passo 5
Calculemos as segundas derivadas para a nossa função:
A partir de
:
A partir de
:
e confirma-se a simetria
.
Passo 6
Calcule o discriminante
no ponto crítico (as segundas derivadas são constantes aqui, então vale em todo ponto):
Então
. Além disso
. Pelo teste das segundas derivadas, isso significa que o ponto crítico é um mínimo local.
Passo 7
Podemos ainda mostrar que é um mínimo global de forma simples: escrevendo a expressão como soma de quadrados (completar quadrado)
Esta expressão é soma de dois termos quadráticos não negativos, então
para todo
, e a desigualdade só é igual quando
e
simultaneamente, o que obriga
. Portanto
é o único ponto onde
atinge seu menor valor
; é portanto mínimo global.
Resposta
Ponto crítico:
— mínimo (local e global), com
.