Encontrar todos os pontos críticos \left(f_{x}=0=f_{y}\right). Separe pontos de máximo, mínimo e de sela. Aplique o teste (4.5)
(a) x^{2}+2 x y+3 y^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+2xy+3y^{2} e pede:
  • Encontrar todos os pontos críticos, ou seja, todas as soluções do sistema \;f_{x}=0 e \;f_{y}=0.
  • Classificar cada ponto crítico como máximo, mínimo ou ponto de sela, usando o teste indicado (teste das segundas derivadas, referido como (4.5)).
Informações relevantes dadas:
f(x,y)=x^{2}+2xy+3y^{2}.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais primeiras. Lembre que a derivada parcial em relação a x trata y como constante, e a derivada parcial em relação a y trata x como constante.
Derivando termo a termo:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(2xy\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(3y^{2}\big)
f_x=2x+2y+0=2x+2y.
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(2xy\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(3y^{2}\big)
f_y=0+2x+6y=2x+6y.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema \;f_x=0\) e \(\;f_y=0\): \[\begin{cases} 2x+2y=0,\\[4pt] 2x+6y=0. \end{cases}
Dividindo ambas as equações por 2\] fica mais simples: \[\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] x+3y=0. \end{cases}\] Subtraindo a segunda da primeira: \[(x+y)-(x+3y)=-2y=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.\] Substituindo \(y=0 em x+y=0 x=0. Logo há apenas um ponto crítico:
(x,y)=(0,0).]

Passo 4

Agora vamos aplicar o teste das segundas derivadas (o tal teste (4.5)). Preciso explicar bem esse teste:
  • Calcule as segundas derivadas parciais:
    \;f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_x),\; f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_y),\; f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x).
  • Defina o discriminante (determinante do Hessiano) em um ponto crítico: D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
  • Interpretação:
    • Se \;D>0 e \;f_{xx}>0 então o ponto crítico é um mínimo local.
    • Se \;D>0 e \;f_{xx}<0 então o ponto crítico é um máximo local.
    • Se \;D<0 então é ponto de sela.
    • Se \;D=0 o teste é inconclusivo.
Essas regras vêm do fato que, perto de um ponto crítico, a função é aproximada por uma forma quadrática dada pelas segundas derivadas; o sinal dessa forma quadrática decide se é min, max ou sela.

Passo 5

Calculemos as segundas derivadas para a nossa função:
A partir de f_x=2x+2y:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2x+2y)=2,\qquad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2x+2y)=2.
A partir de f_y=2x+6y:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2x+6y)=6,
e confirma-se a simetria f_{xy}=f_{yx}=2.

Passo 6

Calcule o discriminante D no ponto crítico (as segundas derivadas são constantes aqui, então vale em todo ponto):
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=2\cdot 6 - 2^{2}=12-4=8.
Então \;D=8>0. Além disso \;f_{xx}=2>0. Pelo teste das segundas derivadas, isso significa que o ponto crítico é um mínimo local.

Passo 7

Podemos ainda mostrar que é um mínimo global de forma simples: escrevendo a expressão como soma de quadrados (completar quadrado)
x^{2}+2xy+3y^{2}=(x+y)^{2}+2y^{2}.
Esta expressão é soma de dois termos quadráticos não negativos, então f(x,y)\ge 0 para todo (x,y), e a desigualdade só é igual quando (x+y)=0 e y=0 simultaneamente, o que obriga x=0,y=0. Portanto (0,0) é o único ponto onde f atinge seu menor valor 0; é portanto mínimo global.

Resposta

Ponto crítico: (0,0) — mínimo (local e global), com f(0,0)=0.

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