Encontrar os valores próprios e vetores próprios para a transformação dada. Determinar se existe ou não uma base de vetores próprios para o domínio de T , encontrar se existe, uma matriz diagonal que representa T .
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede (1) os valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) de
, (2) verificar se existe uma base de
formada por autovetores, e (3) em caso afirmativo, exibir a matriz diagonal que representa
nessa base.
Para isso vamos precisar montar a matriz de na base canônica, resolver o polinômio característico, encontrar os autovetores e aplicar o critério de diagonalização.
Para isso vamos precisar montar a matriz de
Passo 2
Escrevemos a matriz de
na base canônica
. Se
e
, então
Logo
é a representação de
.]
Passo 3
Para achar os autovalores
, calculamos o determinante
Resolvendo
dá
Passo 4
Agora encontramos os autovetores:
Para
, resolvemos
que reduz a
. Um autovetor não nulo é, por exemplo,
Para
, resolvemos
que reduz a
, ou seja
. Um autovetor é
Passo 5
Temos dois autovalores distintos em
, logo
é diagonalizável e
é base de
.
Se montamos
Se montamos
então
Resposta
Os autovalores são
e
. Autovetores correspondentes podem ser
Como os autovalores são distintos, existe base de autovetores e a forma diagonal é