Encontrar os valores próprios e vetores próprios para a transformação dada. Determinar se existe ou não uma base de vetores próprios para o domínio de T , encontrar se existe, uma matriz diagonal que representa T .
T: R^{2} \rightarrow R^{2}, T(x, y)=(2 x+y, 2 x+3 y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (2x+y,\;2x+3y)
e pede (1) os valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) de T, (2) verificar se existe uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores, e (3) em caso afirmativo, exibir a matriz diagonal que representa T nessa base.
Para isso vamos precisar montar a matriz de T na base canônica, resolver o polinômio característico, encontrar os autovetores e aplicar o critério de diagonalização.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica \{(1,0),(0,1)\}. Se \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1), então
T(\mathbf{e}_1) = (2,2),\quad T(\mathbf{e}_2) = (1,3).
Logo
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[6pt] 2 & 3\end{pmatrix}
é a representação de T.]

Passo 3

Para achar os autovalores \lambda, calculamos o determinante
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[3pt] 2 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 -5\lambda +4.
Resolvendo \lambda^2 -5\lambda +4 = 0
\lambda = 1 \quad\text{ou}\quad \lambda = 4.]

Passo 4

Agora encontramos os autovetores:
Para \lambda=1, resolvemos
(A - I)\mathbf{v} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt] 2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}
que reduz a x+y=0. Um autovetor não nulo é, por exemplo,
\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Para \lambda=4, resolvemos
(A - 4I)\mathbf{v} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-2 & 1 \\[3pt] 2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}
que reduz a -2x+y=0, ou seja y=2x. Um autovetor é
\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Temos dois autovalores distintos em \mathbb{R}, logo A é diagonalizável e \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} é base de \mathbb{R}^2.
Se montamos
P = \bigl[\mathbf{v}_1\;\;\mathbf{v}_2\bigr] = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt] -1 & 2\end{pmatrix},
então
P^{-1} A\,P = D \quad\text{com}\quad D = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 4\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=4. Autovetores correspondentes podem ser
\mathbf{v}_1=(1,-1),\quad \mathbf{v}_2=(1,2).
Como os autovalores são distintos, existe base de autovetores e a forma diagonal é
D = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 4\end{pmatrix}.]

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