Encontrar os valores próprios e vetores próprios para a transformação dada. Determinar se existe ou não uma base de vetores próprios para o domínio de T , encontrar se existe, uma matriz diagonal que representa T . T: R^{3} \rightarrow R^{3}, T(x, y, z)=(3 x+2 y+4 z, 2 x+2 z, 4 x+2 y+3 z)
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) da transformação linear
O conteúdo que vamos usar envolve montar a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I), fatorá-lo para obter os autovalores, encontrar as respectivas soluções de (A-\lambda I)v=0 e, por fim, verificar se obtemos três autovetores linearmente independentes (diagonalizabilidade).
Só há uma equação independente 2x + y + 2z = 0, gerando espaço de dimensão 2. Tomando parâmetros s=y e t=z, temos
x = -\tfrac{1}{2}(s + 2t),
logo podemos escolher dois autovetores independentes, por exemplo
v_2 = (-1,2,0),\quad v_3 = (-1,0,1).
Passo 6
Como do autovalor \lambda=8 veio um autovetor e do autovalor \lambda=-1 vieram dois independentes, obtemos três autovetores independentes \{v_1,v_2,v_3\}. Assim T é diagonalizável e essa base de autovetores diagonaliza A. A matriz diagonal correspondente é