Encontrar os valores próprios e vetores próprios para a transformação dada. Determinar se existe ou não uma base de vetores próprios para o domínio de T , encontrar se existe, uma matriz diagonal que representa T .
T: R^{3} \rightarrow R^{3}, T(x, y, z)=(3 x+2 y+4 z, 2 x+2 z, 4 x+2 y+3 z)

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) da transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (3x+2y+4z,\;2x+0y+2z,\;4x+2y+3z).
O conteúdo que vamos usar envolve montar a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I), fatorá-lo para obter os autovalores, encontrar as respectivas soluções de (A-\lambda I)v=0 e, por fim, verificar se obtemos três autovetores linearmente independentes (diagonalizabilidade).

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4\\\\ 2 & 0 & 2\\\\ 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 & 4\\\\ 2 & -\lambda & 2\\\\ 4 & 2 & 3-\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Fazendo a expansão do determinante, chega-se a
\det(A-\lambda I) = -\lambda^3 + 6\lambda^2 + 15\lambda + 8.
Troca-se de sinal para fatorar mais facilmente:
\lambda^3 - 6\lambda^2 - 15\lambda - 8 = 0.
Testando \lambda=8 vê-se que é raiz, e pela divisão polinomial sobra
(\lambda - 8)(\lambda^2 + 2\lambda + 1)=0 \quad\Longrightarrow\quad (\lambda - 8)(\lambda+1)^2 = 0.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 8,\quad \lambda_2 = \lambda_3 = -1.

Passo 4

Para \lambda = 8 resolvemos (A - 8I)v = 0, ou seja
\begin{pmatrix} -5 & 2 & 4\\\\ 2 & -8 & 2\\\\ 4 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0.
Dessa forma obtemos z = 2y e x = 2y. Um autovetor não-nulo é
v_1 = (2,1,2).

Passo 5

Para \lambda = -1 resolvemos (A + I)v = 0, isto é
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 4\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ 4 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0.
Só há uma equação independente 2x + y + 2z = 0, gerando espaço de dimensão 2. Tomando parâmetros s=y e t=z, temos
x = -\tfrac{1}{2}(s + 2t),
logo podemos escolher dois autovetores independentes, por exemplo
v_2 = (-1,2,0),\quad v_3 = (-1,0,1).

Passo 6

Como do autovalor \lambda=8 veio um autovetor e do autovalor \lambda=-1 vieram dois independentes, obtemos três autovetores independentes \{v_1,v_2,v_3\}. Assim T é diagonalizável e essa base de autovetores diagonaliza A. A matriz diagonal correspondente é
D = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
onde as colunas de P são v_1,v_2,v_3.

Resposta

Autovalores:
\lambda_1 = 8,\quad \lambda_2 = \lambda_3 = -1.
Base de autovetores:
v_1 = (2,1,2),\quad v_2 = (-1,2,0),\quad v_3 = (-1,0,1).
Existe base de autovetores (logo T é diagonalizável) e a matriz diagonal que representa T nessa base é
D = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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