Determine qual das seguintes funções são transformações lineares:
T: R^{n} \rightarrow R, tal que T\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}

Passo 1

O enunciado define a função
T\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}
por
T\bigl(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\bigr)=x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}.
O conteúdo é teste de transformação linear, que exige verificar duas propriedades para todo \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n e todo escalar c:
  1. Aditividade: \,T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}).
  2. Homogeneidade: \,T(c\,\mathbf{u})=c\,T(\mathbf{u}).

Passo 2

Verificamos a aditividade. Seja \mathbf{u}=(u_{1},\dots,u_{n}) e \mathbf{v}=(v_{1},\dots,v_{n}). Então
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) =T\bigl(u_{1}+v_{1},\dots,u_{n}+v_{n}\bigr) =(u_{1}+v_{1})+\cdots+(u_{n}+v_{n})
\quad=u_{1}+\cdots+u_{n}+v_{1}+\cdots+v_{n} =T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}).

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Para escalar c e vetor \mathbf{u}=(u_{1},\dots,u_{n}),
T(c\,\mathbf{u}) =T\bigl(c\,u_{1},\dots,c\,u_{n}\bigr) =c\,u_{1}+\cdots+c\,u_{n} =c\,(u_{1}+\cdots+u_{n}) =c\,T(\mathbf{u}).

Resposta

A função T satisfaz aditividade e homogeneidade, portanto é uma transformação linear.

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