Encontrar o vértice oposto a B_{r} no paralelogramo A B C D, para:
A=(5,-7,9), B=(5,-9,6) e C=(-2,3,-7)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo A B C D. Os pontos fornecidos são:
  • A=(5,-7,9)
  • B=(5,-9,6)
  • C=(-2,3,-7)
Portanto a tarefa é determinar as coordenadas do vértice D que completa o paralelogramo A B C D.

Passo 2

Ideia geométrica/vetorial (explicação didática): num paralelogramo com vértices na ordem A,B,C,D vale a igualdade dos vetores dos lados opostos. Em particular,
\vec{AD}=\vec{BC}.
Aqui \vec{BC} é o vetor que vai de B para C e \vec{AD} é o vetor que vai de A para D. Em coordenadas, subtrair pontos dá vetores: se P=(x_P,y_P,z_P) e Q=(x_Q,y_Q,z_Q), então
\vec{PQ}=Q-P=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P,\;z_Q-z_P).
Se \vec{AD}=\vec{BC}, então
D = A + \vec{BC}.
Essa é a fórmula que vamos usar. Em palavras: a partir de A soma-se o deslocamento que leva B a C para obter D.

Passo 3

Calcular o vetor \vec{BC} componente a componente. Usando as coordenadas dadas:
\vec{BC}=C-B = \bigl(-2-5,\;3-(-9),\;-7-6\bigr).
Agora efetuando cada subtração:
-2-5 = -7,\qquad 3-(-9)=3+9=12,\qquad -7-6 = -13.
Logo
\vec{BC}=(-7,\;12,\;-13).

Passo 4

Calcular D pela soma D=A+\vec{BC}. Em componentes:
D = (5,-7,9) + (-7,12,-13).
Somando componente a componente:
x_D = 5 + (-7) = -2,
y_D = -7 + 12 = 5,
z_D = 9 + (-13) = -4.
Portanto
D = (-2,\;5,\;-4).

Passo 5

Verificação rápida (ideia útil para prova): os diagonais de um paralelogramo se cruzam no mesmo ponto médio. Verificar o ponto médio de A e C e compará-lo ao ponto médio de B e D.
Ponto médio de A e C:
M_{AC}=\frac{A+C}{2}=\frac{(5,-7,9)+(-2,3,-7)}{2}=\left(\frac{3}{2},-2,1\right).
Ponto médio de B e D:
M_{BD}=\frac{B+D}{2}=\frac{(5,-9,6)+(-2,5,-4)}{2}=\left(\frac{3}{2},-2,1\right).
Como M_{AC}=M_{BD}, a solução está consistente com a condição de paralelogramo.

Passo 6

Resumo didático e dica de prova: para qualquer paralelogramo com vértices em ordem A,B,C,D, use sempre a relação vetorial \vec{AD}=\vec{BC} (ou equivalentemente D=A+C-B). Isso dá uma operação simples de soma/subtração de coordenadas — rápido e sem necessidade de cálculo complicado na prova. Respire fundo, faça componente a componente e cheque pelo ponto médio se quiser confirmar.

Resposta

(-2,5,-4)

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