Encontrar o vértice oposto a B_{r} no paralelogramo A B C D, para: A=(-5,-8,-1), B=(2,-5,7) e C=(-9,-9,5)
Passo 1
O enunciado fornece as coordenadas dos vértices A, B e C de um paralelogramo A B C D e pede para encontrar o vértice oposto a B (ou seja, o vértice D que completa o paralelogramo). As informações dadas são:
A = (-5,-8,-1),\qquad B = (2,-5,7),\qquad C = (-9,-9,5).
O que se pede: encontrar as coordenadas do vértice oposto a B, isto é, determinar D.
Passo 2
Ideia geométrica e fórmula que vou usar (sem resolver ainda). Num paralelogramo A B C D com vértices na ordem A\to B\to C\to D, os dois vetores das arestas a partir de A satisfazem
Isolando \overrightarrow{AD} e passando para posições, obtém-se a fórmula prática para as coordenadas de D:
D = A + C - B.
Esta fórmula significa: soma as coordenadas de A e C e subtrai as de B; é a mesma relação que vem do fato de que os diagonais se cortam no mesmo ponto médio.
Passo 3
Aplicando a fórmula componente a componente. Primeiro calcule A + C:
A + C = (-5,-8,-1) + (-9,-9,5).
Somando cada componente:
\begin{aligned} x &: -5 + (-9) = -14,\\\ y &: -8 + (-9) = -17,\\\ z &: -1 + 5 = 4. \end{aligned}
Verificação rápida (controle útil na prova). Calcule \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{DC}; em um paralelogramo deve valer \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-(-5),\,-5-(-8),\,7-(-1)) = (7,3,8).
\overrightarrow{DC} = C - D = (-9-(-16),\,-9-(-12),\,5-(-3)) = (7,3,8).
Como \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, a coordenada encontrada para D está consistente com a condição de paralelogramo.
Passo 6
Dica prática para a prova (memorização fácil): sempre que der três vértices consecutivos A,B,C de um paralelogramo e pedirem o quarto D, use diretamente
D = A + C - B,
fazendo soma e subtração componente a componente — pouco cálculo e baixo risco de erro. Respire fundo, faça as contas passo a passo como acima e confira com a igualdade de vetores das arestas ou com o ponto médio das diagonais.