Encontraremos os pontos críticos de P(t) igualando sua derivada primeira a zero e o que eles representam analisando o sinal de sua derivada segunda em cada t crítico.
P^{\prime}(t)=100000\left(4.995 e^{-0.005 t}-0.025 t e^{-0.005 t}\right)
e
P^{\prime \prime}(t)=100000\left(-0.049975 e^{-0.005 t}+1.25 * 10^{-4} t e^{-0.005 t}\right)
Ponto crítico: P^{\prime}(t)=0 \Rightarrow t=\frac{4.995}{0.025}=199.8
Analisando em t=199.8: P^{\prime \prime}(199.8)=-920.602<0 \Rightarrow A população atinge seu máximo em t=199.8 anos

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de população P(t) cuja derivada primeira é
P'(t)=100000\bigl(4.995\,e^{-0.005t}-0.025\,t\,e^{-0.005t}\bigr)
e cuja derivada segunda é
P''(t)=100000\bigl(-0.049975\,e^{-0.005t}+1.25\times10^{-4}\,t\,e^{-0.005t}\bigr).
O objetivo é encontrar os pontos críticos resolvendo P'(t)=0 e, em seguida, usar P''(t) para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos.

Passo 2

Para achar o ponto crítico, igualamos P'(t) a zero. Como 100000\,e^{-0.005t}\neq0 para todo t, basta resolver
4.995-0.025\,t=0
t=\frac{4.995}{0.025}=199.8.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da segunda derivada em t=199.8. Substituindo em P''(t):
P''(199.8) =100000\,e^{-0.005\cdot199.8}\Bigl(-0.049975+1.25\times10^{-4}\times199.8\Bigr).
Dentro do parêntese temos
-0.049975+1.25\times10^{-4}\times199.8 =-0.049975+0.024975 =-0.025<0,
logo P''(199.8)<0, indicando que t=199.8 é ponto de máximo.

Resposta

A população atinge seu máximo em t=199.8 anos.

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