1. A função lucro L, definida por L(x), é o lucro da produção, marketing e venda de x unidades de uma mercadoria. L(x) é representado por L(x))=R(x)-C(x), com R(x)= 90 x-x^{2} a renda e C(x)=50+30 x o custo. Encontre a função lucro, seus valores em \mathrm{L}(20), \mathrm{L}(30), \mathrm{L}(50) e encontre seu valor máximo.
    A função lucro será :
L(x)=R(x)-C(x)=\left(90 x-x^{2}\right)-(50+30 x)=-x^{2}+60 x-50
Substituindo os valores correspondentes em x: L(20)=750 \quad L(30)=850 \quad e \quad L(50)= 450
Procuramos os pontos críticos de L(x),
\frac{d L}{d x}=-2 x+60=0 \Longrightarrow x=30
A função lucro é uma parábola com um ponto de máximo. O lucro máximo ocorre em x=30 unidades e é de R \ 850,00$.

Passo 1

O enunciado fornece a renda R(x)=90x - x^{2} e o custo C(x)=50 + 30x de produzir, comercializar e vender x unidades de uma mercadoria. Pede-se:
– Obter a função lucro L(x)=R(x)-C(x).
– Calcular L(20), L(30) e L(50).
– Determinar o valor máximo de L(x).

Passo 2

Para achar a função lucro, subtraímos o custo da renda:
L(x)=R(x)-C(x)=(90x - x^{2}) - (50 + 30x) = -x^{2} + 60x - 50.

Passo 3

Agora, avaliamos L(x) em x=20, x=30 e x=50:
L(20) = -20^{2} + 60\cdot20 - 50 = -400 + 1200 - 50 = 750,
L(30) = -30^{2} + 60\cdot30 - 50 = -900 + 1800 - 50 = 850,
L(50) = -50^{2} + 60\cdot50 - 50 = -2500 + 3000 - 50 = 450.

Passo 4

Para encontrar extremos, derivamos L(x) e igualamos a zero:
\frac{dL}{dx} = -2x + 60 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 30.

Passo 5

Como o coeficiente de x^{2} em L(x) é -1<0, a parábola está voltada para baixo, então x=30 é ponto de máximo. O lucro máximo é
L(30)=850.

Resposta

A função lucro é
L(x) = -x^{2} + 60x - 50.
Os valores solicitados são
L(20)=750,\quad L(30)=850,\quad L(50)=450.
O lucro máximo ocorre em x=30 unidades e vale 850.

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