Encontre a
derivada de
.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- O enunciado pede a derivada de ordem
da função . - Informação dada: a função é
.
Passo 2
Relembrando regras de derivação que usaremos (explicação didática).
- Regra do produto: a derivada de um produto
é
Aqui
e
.
- Derivada da exponencial com argumento
(regra da cadeia): como , temos
Portanto cada vez que derivarmos
surge um fator
mantendo o
.
Passo 3
Calculemos as primeiras derivadas e observemos o padrão (passo a passo, sem pular etapas).
- Ordem
(a própria função):
- Primeira derivada: aplicar regra do produto com
e .
- Segunda derivada: aplicar regra do produto a
. Aqui e , então .
- Terceira derivada: aplicar novamente a regra do produto a
. Aqui .
Vendo os resultados:
Percebe-se que a parte que multiplica
é sempre um polinômio afim (forma
) cujo coeficiente de
alterna entre
e
, e o termo constante segue uma sequência relacionada à ordem da derivada.
Passo 4
Conjectura da forma geral com explicação.
Pelos exemplos acima é natural conjecturar que, para todo
,
Aqui a interpretação é:
-
é o coeficiente que alterna o sinal na frente de ; -
desloca o termo constante de modo que, por exemplo, para aparece , para aparece , etc.; - o fator
permanece em todas as derivadas por causa da propriedade da exponencial comentada no Passo 2.
Passo 5
Prova por indução da fórmula conjecturada (passo didático).
- Base (
): é verdade porque
- Passo indutivo: suponha que para algum
vale
Derivando ambos os lados para obter
:
que é exatamente a fórmula com
substituído por
. Assim a propriedade se mantém por indução para todo
.
Passo 6
Aplicação da fórmula ao caso pedido (
).
Usando a fórmula demonstrada,
Como
é par,
, portanto
Passo 7
Dica rápida para a prova/tempo: em questões parecidas, experimente calcular poucas derivadas para identificar padrão do polinômio multiplicando a exponencial e depois prove por indução — isso costuma ser curto e seguro durante a prova.