Encontre a 1000^{\mathrm{a}} derivada de f(x)=x e^{-x}.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • O enunciado pede a derivada de ordem 1000 da função f(x)=x e^{-x}.
  • Informação dada: a função é f(x)=x e^{-x}.

Passo 2

Relembrando regras de derivação que usaremos (explicação didática).
  • Regra do produto: a derivada de um produto u(x)v(x) é
(uv)'=u'v+uv'.
Aqui u(x)=x e v(x)=e^{-x}.
  • Derivada da exponencial com argumento -x (regra da cadeia): como \frac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)e^{g(x)}, temos
\frac{d}{dx}e^{-x}=(-1)e^{-x}=-e^{-x}.
Portanto cada vez que derivarmos e^{-x} surge um fator -1 mantendo o e^{-x}.

Passo 3

Calculemos as primeiras derivadas e observemos o padrão (passo a passo, sem pular etapas).
  • Ordem 0 (a própria função):
f(x)=x e^{-x}.
  • Primeira derivada: aplicar regra do produto com u(x)=x e v(x)=e^{-x}.
f'(x)=1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = (1-x)e^{-x}.
  • Segunda derivada: aplicar regra do produto a (1-x)e^{-x}. Aqui u(x)=1-x e v(x)=e^{-x}, então u'(x)=-1.
f''(x)=(-1)\cdot e^{-x} + (1-x)\cdot(-e^{-x}) = (-1 -1 + x)e^{-x} = (x-2)e^{-x}.
  • Terceira derivada: aplicar novamente a regra do produto a (x-2)e^{-x}. Aqui u'(x)=1.
f^{(3)}(x)=1\cdot e^{-x} + (x-2)\cdot(-e^{-x}) = (1 - x + 2)e^{-x} = (3-x)e^{-x}.
Vendo os resultados:
\begin{aligned} f(x) &= x e^{-x},\\\ f'(x) &= (1-x)e^{-x} = (-x+1)e^{-x},\\\ f''(x) &= (x-2)e^{-x},\\\ f^{(3)}(x) &= (3-x)e^{-x}. \end{aligned}
Percebe-se que a parte que multiplica e^{-x} é sempre um polinômio afim (forma ax+b) cujo coeficiente de x alterna entre +1 e -1, e o termo constante segue uma sequência relacionada à ordem da derivada.

Passo 4

Conjectura da forma geral com explicação.
Pelos exemplos acima é natural conjecturar que, para todo n\ge0,
f^{(n)}(x)=(-1)^{n}(x-n)e^{-x}.
Aqui a interpretação é:
  • (-1)^{n} é o coeficiente que alterna o sinal na frente de x;
  • x-n desloca o termo constante de modo que, por exemplo, para n=2 aparece (x-2), para n=3 aparece (3-x)=(-1)^3(x-3), etc.;
  • o fator e^{-x} permanece em todas as derivadas por causa da propriedade da exponencial comentada no Passo 2.

Passo 5

Prova por indução da fórmula conjecturada (passo didático).
  • Base ( n=0): é verdade porque
f^{(0)}(x)=f(x)=x e^{-x}=(-1)^{0}(x-0)e^{-x}.
  • Passo indutivo: suponha que para algum n\ge0 vale
f^{(n)}(x)=(-1)^{n}(x-n)e^{-x}.
Derivando ambos os lados para obter f^{(n+1)}:
\begin{aligned} f^{(n+1)}(x) &= \frac{d}{dx}\big[(-1)^{n}(x-n)e^{-x}\big] \\\ &= (-1)^{n}\big(1\cdot e^{-x} + (x-n)\cdot(-e^{-x})\big) \quad\text{(regra do produto e }\tfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}\text{)}\\\ &= (-1)^{n}(1 - x + n)e^{-x}\\\ &= (-1)^{n+1}(x-(n+1))e^{-x}, \end{aligned}
que é exatamente a fórmula com n substituído por n+1. Assim a propriedade se mantém por indução para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 6

Aplicação da fórmula ao caso pedido ( n=1000).
Usando a fórmula demonstrada,
f^{(1000)}(x)=(-1)^{1000}(x-1000)e^{-x}.
Como 1000 é par, (-1)^{1000}=1, portanto
f^{(1000)}(x)=(x-1000)e^{-x}.

Passo 7

Dica rápida para a prova/tempo: em questões parecidas, experimente calcular poucas derivadas para identificar padrão do polinômio multiplicando a exponencial e depois prove por indução — isso costuma ser curto e seguro durante a prova.

Resposta

(x-1000)e^{-x}

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