Para quais valores de
a função
satisfaz a equação diferencial
?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Função dada:
, onde é um parâmetro (constante) e é a variável independente. - Equação diferencial dada:
. - Pergunta: para quais valores de
a função satisfaz essa equação diferencial?
Passo 2
Calcular as derivadas de
. Lembrete: a derivada de
em relação a
é
, quando
é constante.
- Primeiro derivada:
Aqui
é tratado como constante e
como variável.
- Segunda derivada:
Passo 3
Substituir
,
e
na equação diferencial:
Fatorando
(que nunca é zero para
real e
real):
Como
para todo
, a igualdade só pode ocorrer se o fator polinomial for zero:
Passo 4
Resolver a equação quadrática característica
.
Usar a fórmula quadrática: para , as raízes são
Usar a fórmula quadrática: para
Aqui
,
,
. Aplicando:
Simplificando
:
Comentário didático: o discriminante
indica duas raízes reais distintas, portanto existem duas exponenciais independentes que são soluções.
Passo 5
Interpretação prática para a prova: ao testar uma solução do tipo
numa equação linear homogênea com coeficientes constantes, sempre obtenha a equação polinomial em
(a chamada equação característica). Resolver essa quadrática (ou polinomial de grau maior) dá os valores de
que funcionam. Se as raízes forem distintas reais, a solução geral da EDO será combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
são constantes arbitrárias — isso é útil quando pedirem a solução geral.