Para quais valores de r a função y=e^{r x} satisfaz a equação diferencial y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=0 ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Função dada: y=e^{r x}, onde r é um parâmetro (constante) e x é a variável independente.
  • Equação diferencial dada: y''-4y'+y=0.
  • Pergunta: para quais valores de r a função y=e^{r x} satisfaz essa equação diferencial?

Passo 2

Calcular as derivadas de y. Lembrete: a derivada de e^{a x} em relação a x é a e^{a x}, quando a é constante.
  • Primeiro derivada:
y' = \frac{d}{dx}\big(e^{r x}\big)=r e^{r x}.
Aqui r é tratado como constante e x como variável.
  • Segunda derivada:
y'' = \frac{d}{dx}\big(r e^{r x}\big)=r\cdot r e^{r x}=r^{2} e^{r x}.

Passo 3

Substituir y, y' e y'' na equação diferencial:
y''-4y'+y = r^{2} e^{r x} - 4\big(r e^{r x}\big) + e^{r x}.
Fatorando e^{r x} (que nunca é zero para r real e x real):
e^{r x}\big(r^{2}-4r+1\big)=0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, a igualdade só pode ocorrer se o fator polinomial for zero:
r^{2}-4r+1=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática característica r^{2}-4r+1=0.
Usar a fórmula quadrática: para \,ar^{2}+br+c=0, as raízes são
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-4, c=1. Aplicando:
r=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}.
Simplificando \sqrt{12}=\,2\sqrt{3}:
r=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}.
Comentário didático: o discriminante b^{2}-4ac=12>0 indica duas raízes reais distintas, portanto existem duas exponenciais independentes que são soluções.

Passo 5

Interpretação prática para a prova: ao testar uma solução do tipo y=e^{r x} numa equação linear homogênea com coeficientes constantes, sempre obtenha a equação polinomial em r (a chamada equação característica). Resolver essa quadrática (ou polinomial de grau maior) dá os valores de r que funcionam. Se as raízes forem distintas reais, a solução geral da EDO será combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{(2+\sqrt{3})x}+C_{2}e^{(2-\sqrt{3})x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias — isso é útil quando pedirem a solução geral.

Resposta

r=2+\sqrt{3}
r=2-\sqrt{3}

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