Suponha que f seja uma derivável em \mathbb{R} e \alpha, um número real. Sejam F(x)=f\left(x^{\alpha}\right) e G(x)=[f(x)]^{\alpha}. Encontre expressões para
F^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f é diferenciável em \mathbb{R} (portanto f' existe para todo ponto onde o argumento de f for válido).
  • \alpha é um número real.
  • Define-se F(x)=f\bigl(x^{\alpha}\bigr) e também G(x)=[f(x)]^{\alpha} (neste exercício vamos encontrar F'(x)).
    O que se pede: encontrar uma expressão para a derivada F'(x).

Passo 2

Idea-chave que vamos usar: regra da cadeia. Vou enunciá-la de forma clara.
Se h(x)=f\bigl(u(x)\bigr), onde u é diferenciável em x e f é diferenciável em u(x), então vale a regra da cadeia:
h'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
O que isso diz em palavras: para derivar uma composição, derivamos a função externa f avaliando-a na função interna u(x), e multiplicamos pelo derivado da função interna u.

Passo 3

Aqui a nossa função interna é
u(x)=x^{\alpha}.
Precisamos do derivado de u. Usamos a regra do potência: para \alpha real, quando a função x\mapsto x^{\alpha} é diferenciável em x (por exemplo para todo x\neq0 quando \alpha é qualquer real e para x>0 no caso geral de exponentes reais), o derivado é
u'(x)=\alpha x^{\alpha-1}.
Explicando essa regra: ela vem do limite definidor da derivada e também pode ser vista como extensão da regra para expoentes inteiros; para \alpha real, a fórmula vale onde x^{\alpha} está bem definida e diferenciável (tipicamente x>0 se \alpha não for inteiro).

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia com h=F, f sendo a função externa dada e u(x)=x^{\alpha} sendo a interna. Pela regra da cadeia:
F'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Substituindo u(x)=x^{\alpha} e u'(x)=\alpha x^{\alpha-1} obtemos a expressão desejada (aqui fica o resultado final, que está sendo obtido pela aplicação direta das duas regras que vimos).

Passo 5

Observações importantes (para usar essa fórmula numa prova):
  • A fórmula só vale para pontos x onde x\mapsto x^{\alpha} é diferenciável (por exemplo, se \alpha não é inteiro costuma-se restringir a x>0). Se \alpha for inteiro então a fórmula vale para todo x\in\mathbb{R}.
  • Em \,f'\bigl(x^{\alpha}\bigr)\, lê-se “derivada de f avaliada no ponto x^{\alpha}”.
  • Exemplo concreto para fixar: se f(t)=\sin t e \alpha=2, então F(x)=\sin(x^2) e pela fórmula
F'(x)=\cos\bigl(x^2\bigr)\cdot 2x.

Resposta

F'(x)=f'\bigl(x^{\alpha}\bigr)\,\alpha x^{\alpha-1}
(para os x em que x^{\alpha} está definido e a função interna x\mapsto x^{\alpha} é diferenciável).

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