Suponha que
seja uma derivável em
e
, um número real. Sejam
e
. Encontre expressões para
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é diferenciável em (portanto existe para todo ponto onde o argumento de for válido). -
é um número real. - Define-se
e também (neste exercício vamos encontrar ).
O que se pede: encontrar uma expressão para a derivada.
Passo 2
Idea-chave que vamos usar: regra da cadeia. Vou enunciá-la de forma clara.
Se , onde
é diferenciável em
e
é diferenciável em
, então vale a regra da cadeia:
Se
O que isso diz em palavras: para derivar uma composição, derivamos a função externa
avaliando-a na função interna
, e multiplicamos pelo derivado da função interna
.
Passo 3
Aqui a nossa função interna é
Precisamos do derivado de
. Usamos a regra do potência: para
real, quando a função
é diferenciável em
(por exemplo para todo
quando
é qualquer real e para
no caso geral de exponentes reais), o derivado é
Explicando essa regra: ela vem do limite definidor da derivada e também pode ser vista como extensão da regra para expoentes inteiros; para
real, a fórmula vale onde
está bem definida e diferenciável (tipicamente
se
não for inteiro).
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia com
,
sendo a função externa dada e
sendo a interna. Pela regra da cadeia:
Substituindo
e
obtemos a expressão desejada (aqui fica o resultado final, que está sendo obtido pela aplicação direta das duas regras que vimos).
Passo 5
Observações importantes (para usar essa fórmula numa prova):
- A fórmula só vale para pontos
onde é diferenciável (por exemplo, se não é inteiro costuma-se restringir a ). Se for inteiro então a fórmula vale para todo . - Em
lê-se “derivada de avaliada no ponto ”. - Exemplo concreto para fixar: se
e , então e pela fórmula
Resposta
(para os
em que
está definido e a função interna
é diferenciável).