Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int(3 \operatorname{sen} z+\cos z-2 z) d z.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva da função
f(z)=3\,\operatorname{sen}z+\cos z-2z.
O conteúdo que vamos usar é a linearidade da integral e as integrais básicas \int \operatorname{sen}z\,dz, \int \cos z\,dz e \int z\,dz.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos
\int\bigl(3\,\operatorname{sen}z+\cos z-2z\bigr)\,dz =3\int \operatorname{sen}z\,dz +\int \cos z\,dz -2\int z\,dz.

Passo 3

Agora calculamos cada termo:
\int \operatorname{sen}z\,dz=-\cos z,
\int \cos z\,dz=\sin z,
\int z\,dz=\frac{z^2}{2}.
Logo,
3\int \operatorname{sen}z\,dz = 3\bigl(-\cos z\bigr)=-3\cos z,
\int \cos z\,dz=\sin z,
-2\int z\,dz=-2\cdot\frac{z^2}{2}=-z^2.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(z)=-3\cos z+\sin z - z^2 + C.

Resposta

A antiderivada é
F(z)=-3\cos z+\sin z - z^2 + C.

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