Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(-4 \cos t+\frac{1}{t}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
\int\!\Bigl(-4\cos t + \frac{1}{t}\Bigr)\,dt.
O conteúdo aqui é integração de soma de funções, usando a linearidade da integral e as fórmulas conhecidas \displaystyle \int \cos t\,dt = \sin t e \displaystyle \int \frac{1}{t}\,dt = \ln\lvert t\rvert.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de linearidade da integral para separar em duas integrais:
\int\!\Bigl(-4\cos t + \frac{1}{t}\Bigr)\,dt =\int (-4\cos t)\,dt + \int \frac{1}{t}\,dt.

Passo 3

Para a primeira integral, fatoramos a constante -4 e usamos \int \cos t\,dt = \sin t:
\int (-4\cos t)\,dt =-4 \int \cos t\,dt =-4\sin t.

Passo 4

Para a segunda integral, usamos a fórmula da integral de 1/t:
\int \frac{1}{t}\,dt = \ln\bigl\lvert t\bigr\rvert.

Passo 5

Somamos os resultados e incluímos a constante de integração C:
-4\sin t + \ln\bigl\lvert t\bigr\rvert + C.

Resposta

-4\sin t + \ln\bigl\lvert t\bigr\rvert + C

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