Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(x^{\frac{1}{2}}-4 x^{\frac{1}{3}}+3 x\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de \displaystyle f(x)=x^{\frac12}-4x^{\frac13}+3x.
O conteúdo aqui é antiderivação pelo regra de potência para integrais, que diz
\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Separamos a integral em três partes:
\int\bigl(x^{\frac12}-4x^{\frac13}+3x\bigr)\,dx =\int x^{\frac12}\,dx -4\int x^{\frac13}\,dx +3\int x\,dx.

Passo 3

Para \int x^{\frac12}\,dx usamos n=\tfrac12, então n+1=\tfrac32, logo
\int x^{\frac12}\,dx =\frac{x^{\frac32}}{\frac32} =\frac{2}{3}\,x^{\frac32}.

Passo 4

Para \int x^{\frac13}\,dx temos n=\tfrac13, n+1=\tfrac43, daí
\int x^{\frac13}\,dx =\frac{x^{\frac43}}{\frac43} =\frac{3}{4}\,x^{\frac43}.
Multiplicando por -4
-4\int x^{\frac13}\,dx =-4\cdot\frac{3}{4}\,x^{\frac43} =-3\,x^{\frac43}.

Passo 5

Para \int x\,dx usamos n=1, n+1=2, então
\int x\,dx =\frac{x^2}{2},
e multiplicando por 3 resulta em
3\int x\,dx =3\cdot\frac{x^2}{2} =\frac{3}{2}\,x^2.

Passo 6

Somando todas as partes e incluindo a constante de integração C:
\int\bigl(x^{\frac12}-4x^{\frac13}+3x\bigr)\,dx =\frac{2}{3}\,x^{\frac32} -3\,x^{\frac43} +\frac{3}{2}\,x^2 +C.

Resposta

\boxed{\frac{2}{3}x^{\frac32}-3x^{\frac43}+\frac{3}{2}x^2+C.}

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