Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(\frac{1}{x}+2 a\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
\frac{1}{x} + 2a
em relação a x.
O conteúdo aqui é integração de soma de termos, usando linearidade da integral e as fórmulas básicas \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx e \displaystyle \int \text{constante}\,dx.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral, que diz que
\int\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
Logo,
\int\Bigl(\frac{1}{x} + 2a\Bigr)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx + \int 2a\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx usamos a fórmula padrão
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr| + C_1.

Passo 4

Para \displaystyle \int 2a\,dx, onde 2a é constante em relação a x, temos
\int 2a\,dx = 2a \int 1\,dx = 2a\,x + C_2.

Resposta

Somando as duas partes e agrupando as constantes em uma só, a antiderivada geral é
\ln\bigl|x\bigr| + 2a\,x + C.

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