Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(-\frac{4}{t}+t^{3}+\frac{e^{t}}{3}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
-\frac{4}{t} + t^{3} + \frac{e^{t}}{3}
ou seja, calcular
\int\Bigl(-\frac{4}{t} + t^{3} + \frac{e^{t}}{3}\Bigr)\,dt.
O conteúdo necessário é integração de funções elementares: a regra do logaritmo para 1/t, a regra do polinômio e a regra do exponencial.

Passo 2

Separamos a integral em três partes, usando a propriedade da linearidade:
\int\Bigl(-\frac{4}{t} + t^{3} + \frac{e^{t}}{3}\Bigr)\,dt = \int\Bigl(-\frac{4}{t}\Bigr)\,dt + \int t^{3}\,dt + \int\frac{e^{t}}{3}\,dt.

Passo 3

Para \displaystyle \int\Bigl(-\frac{4}{t}\Bigr)\,dt, fatoramos o -4:
\int\Bigl(-\frac{4}{t}\Bigr)\,dt = -4\int \frac{1}{t}\,dt = -4\,\ln\bigl|t\bigr|.

Passo 4

Para \displaystyle \int t^{3}\,dt, usamos a regra de potência:
\int t^{3}\,dt = \frac{t^{4}}{4}.

Passo 5

Para \displaystyle \int\frac{e^{t}}{3}\,dt, tiramos o fator constante 1/3:
\int\frac{e^{t}}{3}\,dt = \frac{1}{3}\int e^{t}\,dt = \frac{e^{t}}{3}.

Passo 6

Somando todas as partes e adicionando a constante de integração C, obtemos a antiderivada geral:
F(t) = -4\,\ln\bigl|t\bigr| + \frac{t^{4}}{4} + \frac{e^{t}}{3} + C.

Resposta

F(t) = -4\ln\bigl|t\bigr| + \frac{t^{4}}{4} + \frac{e^{t}}{3} + C.

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