Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(e^{x}-3 s^{2}-6 s\right) d s.

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
\int\bigl(e^{x}-3s^{2}-6s\bigr)\,ds.
O conteúdo que vamos usar inclui a linearidade da integral, a regra de potência para polinômios e o fato de que, na integração em s, e^{x} é constante.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos em três termos:
\int\bigl(e^{x}-3s^{2}-6s\bigr)\,ds =\int e^{x}\,ds \;-\;3\int s^{2}\,ds \;-\;6\int s\,ds.

Passo 3

Para \int e^{x}\,ds, tratamos e^{x} como constante em relação a s. Assim,
\int e^{x}\,ds =e^{x}\int ds =e^{x}\,s.

Passo 4

Para \int s^{2}\,ds, aplicamos a regra de potência \int s^{n}\,ds = \tfrac{s^{n+1}}{n+1}. Logo,
\int s^{2}\,ds =\frac{s^{3}}{3},
e
-3\int s^{2}\,ds =-3\cdot\frac{s^{3}}{3} =-s^{3}.

Passo 5

Para \int s\,ds, com n=1, temos
\int s\,ds =\frac{s^{2}}{2},
e então
-6\int s\,ds =-6\cdot\frac{s^{2}}{2} =-3s^{2}.

Passo 6

Somando todas as partes e adicionando a constante de integração C, obtemos
e^{x}s \;-\;s^{3}\;-\;3s^{2}+C.

Resposta

A antiderivada é
F(s)=e^{x}s - s^{3} - 3s^{2} + C.

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