Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(-2 \operatorname{sec} ^{2} t-\frac{2}{t}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
\int\Bigl(-2\operatorname{sec}^2 t - \tfrac{2}{t}\Bigr)\,dt.
Vamos usar a linearidade da integral e conhecer as antiderivadas básicas de \operatorname{sec}^2 t e de 1/t.

Passo 2

Pela linearidade, separamos a integral em duas:
\int\Bigl(-2\operatorname{sec}^2 t - \tfrac{2}{t}\Bigr)\,dt = -2\int \operatorname{sec}^2 t\,dt \;-\; 2\int \frac{1}{t}\,dt.

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{dt}(\tan t)=\operatorname{sec}^2 t,
então
\int \operatorname{sec}^2 t\,dt = \tan t.

Passo 4

Também sabemos que
\frac{d}{dt}(\ln|t|)=\frac{1}{t},
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\int \frac{1}{t}\,dt = \ln|t|.

Passo 5

Substituindo esses resultados na separação do Passo 2, obtemos
-2\int \operatorname{sec}^2 t\,dt \;-\;2\int \frac{1}{t}\,dt = -2\,\tan t \;-\;2\,\ln|t| + C.

Resposta

-2\tan t \;-\;2\ln|t| + C

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