Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(a s^{4}-\frac{1}{s}+2 s^{2}\right) d s.

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função \displaystyle a\,s^{4}-\frac{1}{s}+2\,s^{2}.
O conteúdo aqui é integração de soma de potências de s e de s^{-1}. Vamos usar a regra de potência
\int s^{n}\,ds=\frac{s^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1)
e a integral de s^{-1}:
\int \frac{1}{s}\,ds=\ln\lvert s\rvert.

Passo 2

Separamos a integral em três partes:
\int\Bigl(a\,s^{4}-\frac{1}{s}+2\,s^{2}\Bigr)\,ds =\int a\,s^{4}\,ds -\int \frac{1}{s}\,ds +\int 2\,s^{2}\,ds.

Passo 3

Calculamos as integrais que são potências de s:
\int a\,s^{4}\,ds =a\,\frac{s^{5}}{5},
\int 2\,s^{2}\,ds =2\;\frac{s^{3}}{3} =\frac{2\,s^{3}}{3}.

Passo 4

Agora a integral do termo com s^{-1}:
\int -\frac{1}{s}\,ds =-\ln\lvert s\rvert.

Passo 5

Somando tudo e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral.

Resposta

F(s)=\frac{a\,s^{5}}{5} \;+\;\frac{2\,s^{3}}{3}\;-\;\ln\lvert s\rvert\;+\;C.

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