Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(-\cos t+\frac{3}{t^{2}}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
-\cos t + \frac{3}{t^{2}}
ou seja, queremos
\int\bigl(-\cos t + \tfrac{3}{t^{2}}\bigr)\,dt.
O conteúdo envolve integrais básicas: a integral de \cos t e a integral de potências t^{n}.

Passo 2

Integramos o primeiro termo
\int -\cos t\,dt = -\int \cos t\,dt = -\sin t + C_{1},
porque sabemos que \frac{d}{dt}[\sin t]=\cos t.

Passo 3

Integramos o segundo termo escrevendo-o como potência:
\frac{3}{t^{2}} = 3\,t^{-2},
logo
\int 3\,t^{-2}\,dt = 3\int t^{-2}\,dt = 3\cdot\frac{t^{-1}}{-1} + C_{2} = -3\,t^{-1} + C_{2} = -\frac{3}{t} + C_{2}.

Passo 4

Somando as duas primitivas e unificando a constante em C = C_{1}+C_{2}, obtemos
F(t) = -\sin t - \frac{3}{t} + C.

Resposta

-\sin t - \frac{3}{t} + C

Exercícios relacionados