Encontre a aproximação linear da função
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a aproximação linear da função
no ponto
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a aproximação linear é
. - O pedido “aproximação linear” significa que devemos determinar a função afim (plano tangente) que aproxima
perto desse ponto.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da aproximação linear (linearização) de uma função de duas variáveis no ponto
:
Explicando cada termo:
-
é o ponto de tangência (aqui ). -
é o valor da função no ponto. -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em . Ela mede a taxa de variação de quando só varia (mantendo fixo). -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em . Ela mede a taxa de variação de quando só varia (mantendo fixo).
Intuição prática: próximo de
,
≈
. Em prova, memorize a fórmula e aplique: calcular
,
e
, e montar
.
Passo 3
Calcular
. Usamos que
:
Passo 4
Calcular as derivadas parciais gerais de
.
Derivada parcial em relação a
: ao diferenciar em
tratamos
como constante. A derivada de
em relação a
é
. Logo,
(Explicando: pensamos em
. Como
não depende de
, sai como constante.)
Derivada parcial em relação a
: ao diferenciar em
tratamos
como constante. A derivada de
em relação a
é
. Logo,
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Usando
e
:
Observação: o número
está em radianos (padrão em cálculo); não é preciso converter nada aqui, só usar as identidades trigonométricas no ponto
.
Passo 6
Substituir
,
e
na fórmula da linearização:
Colocando os valores:
Portanto a aproximação linear (plano tangente) em
é
.
Passo 7
Para fixar: isso significa que, para pontos próximos de
,
Por exemplo, se quiséssemos aproximar
, a linearização dá
Se precisar de um valor numérico rápido,
, logo
. Está funcionando como uma boa aproximação quando
está perto de
.