Encontre a aproximação linear da função
f(x, y)=\cos (x) \operatorname{sen}(y) no ponto (2,0).

Passo 1

O enunciado pede a aproximação linear da função \,f(x,y)=\cos(x)\sin(y)\, no ponto (2,0).
Informações dadas:
  • A função é \,f(x,y)=\cos(x)\sin(y)\,.
  • O ponto onde queremos a aproximação linear é (a,b)=(2,0).
  • O pedido “aproximação linear” significa que devemos determinar a função afim (plano tangente) que aproxima f perto desse ponto.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da aproximação linear (linearização) de uma função de duas variáveis no ponto (a,b):
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b).
Explicando cada termo:
  • (a,b) é o ponto de tangência (aqui (2,0)).
  • f(a,b) é o valor da função no ponto.
  • f_x(a,b) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (a,b). Ela mede a taxa de variação de f quando só x varia (mantendo y fixo).
  • f_y(a,b) é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (a,b). Ela mede a taxa de variação de f quando só y varia (mantendo x fixo).
Intuição prática: próximo de (a,b), f(x,y) L(x,y). Em prova, memorize a fórmula e aplique: calcular f(a,b), f_x(a,b) e f_y(a,b), e montar L.

Passo 3

Calcular f(a,b)=f(2,0). Usamos que \sin(0)=0:
f(2,0)=\cos(2)\sin(0)=\cos(2)\cdot 0=0.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais gerais de f(x,y)=\cos(x)\sin(y).
Derivada parcial em relação a x: ao diferenciar em x tratamos \sin(y) como constante. A derivada de \cos(x) em relação a x é -\sin(x). Logo,
f_x(x,y) = -\sin(x)\sin(y).
(Explicando: pensamos em f(x,y)=(\cos x)\cdot(\sin y). Como \sin y não depende de x, sai como constante.)
Derivada parcial em relação a y: ao diferenciar em y tratamos \cos(x) como constante. A derivada de \sin(y) em relação a y é \cos(y). Logo,
f_y(x,y) = \cos(x)\cos(y).

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto (2,0).
Usando \sin(0)=0 e \cos(0)=1:
f_x(2,0) = -\sin(2)\sin(0) = -\sin(2)\cdot 0 = 0,
f_y(2,0) = \cos(2)\cos(0) = \cos(2)\cdot 1 = \cos(2).
Observação: o número 2 está em radianos (padrão em cálculo); não é preciso converter nada aqui, só usar as identidades trigonométricas no ponto y=0.

Passo 6

Substituir f(2,0), f_x(2,0) e f_y(2,0) na fórmula da linearização:
L(x,y)=f(2,0)+f_x(2,0)\,(x-2)+f_y(2,0)\,(y-0).
Colocando os valores:
L(x,y)=0 + 0\cdot(x-2) + \cos(2)\cdot y = \cos(2)\,y.
Portanto a aproximação linear (plano tangente) em (2,0) é L(x,y)=\cos(2)\,y.

Passo 7

Para fixar: isso significa que, para pontos próximos de (2,0),
f(x,y)\approx \cos(2)\,y.
Por exemplo, se quiséssemos aproximar f(2{,}01,0{,}02), a linearização dá
f(2{,}01,0{,}02)\approx \cos(2)\cdot 0{,}02.
Se precisar de um valor numérico rápido, \cos(2)\approx -0{,}416146, logo \cos(2)\cdot 0{,}02\approx -0{,}00832. Está funcionando como uma boa aproximação quando (x,y) está perto de (2,0).

Resposta

L(x,y)=\cos(2)\,y

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