Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície
z=x^{2}+2 y^{2}-3 no ponto (2,5,9).

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=x^{2}+2 y^{2}-3 e pede: encontrar o plano tangente e a reta normal a essa superfície no ponto (2,5,9). Informações relevantes que recebemos do enunciado:
  • A equação da superfície é z=x^{2}+2 y^{2}-3.
  • O ponto fornecido é (2,5,9).
  • As perguntas são: (i) o plano tangente à superfície no ponto dado; (ii) a reta normal à superfície no ponto dado.

Passo 2

Primeiro passo prático (verificação): para falar em “plano tangente à superfície no ponto (x_0,y_0,z_0)” é necessário que o ponto pertença à superfície. Vamos checar isso substituindo x=2 e y=5 na equação da superfície para ver o valor de z que a superfície tem nesses x,y:
z = x^{2}+2y^{2}-3.
Substituindo x=2 e y=5 obtemos
z = 2^{2}+2\cdot 5^{2}-3 = 4 + 2\cdot 25 -3 = 4 +50 -3 = 51.
Portanto, o ponto da superfície com x=2 e y=5 é (2,5,51), não (2,5,9).

Passo 3

Conclusão lógica importante: o ponto (2,5,9) não pertence à superfície dada, porque o lado direito da equação dá 51 quando x=2, y=5, mas o ponto fornecido tem z=9. Logo não faz sentido falar em “plano tangente à superfície no ponto (2,5,9)”, pois o ponto não está sobre a superfície. Em linguagem direta: não existe plano tangente nem reta normal à superfície passando pelo ponto (2,5,9), porque o ponto não está na superfície.

Passo 4

Breve aula conceitual (para você conseguir responder questões semelhantes na prova): se a superfície é dada explicitamente por z=f(x,y)\), o plano tangente no ponto \((x_0,y_0,z_0)\) (com \(z_0=f(x_0,y_0)\)) é dado por \[z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. A reta normal pode ser escrita usando o vetor normal ao plano tangente, que para z=f(x,y) é (f_x,f_y,-1); a forma parametrizada da reta normal é
\begin{cases} x = x_0 + f_x(x_0,y_0)\,t,\\[4pt] y = y_0 + f_y(x_0,y_0)\,t,\\[4pt] z = z_0 - t. \end{cases}
Essas fórmulas só valem quando ((x_0,y_0,z_0)] pertence realmente à superfície.]

Passo 5

Aplicando isso ao nosso f(x,y)=x^{2}+2y^{2}-3: as derivadas parciais são
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+2y^{2}-3)=2x,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+2y^{2}-3)=4y.
Explico rapidinho: f_x é a inclinação da superfície na direção x (mantendo y fixo) e \,2x vem de derivar x^2; f_y é a inclinação na direção y (mantendo x fixo) e \,4y vem de derivar 2y^2.

Passo 6

Como o ponto dado (2,5,9) não pertence à superfície, não podemos usar (2,5,9) em f_x,f_y para obter o plano tangente. Entretanto, se a intenção fosse pedir o plano tangente e a reta normal no ponto da superfície com as mesmas coordenadas x=2,y=5, esse ponto correto na superfície é (2,5,51). Vou calcular a seguir o plano tangente e a reta normal nesse ponto (2,5,51) — isso é um “caso provável” que muitos exercícios pedem.

Passo 7

Avaliação das derivadas no ponto (2,5):
f_x(2,5)=2\cdot 2 = 4,\qquad f_y(2,5)=4\cdot 5 = 20.
Agora aplicamos a fórmula do plano tangente com x_0=2, y_0=5, z_0=51:
z - 51 = 4\,(x-2) + 20\,(y-5).
Simplificando para uma forma explícita:
z = 4x + 20y -57.
(Detalhe da conta: 4(x-2)+20(y-5)=4x-8+20y-100=4x+20y-108; somando 51 vem 4x+20y-57.)

Passo 8

Agora a reta normal no ponto (2,5,51)\): o vetor normal é \((f_x,f_y,-1)=(4,20,-1)\). A forma paramétrica da reta normal (com parâmetro \(t\), passando por \(t=0\) no ponto) é \[\begin{cases} x = 2 + 4t,\\[4pt] y = 5 + 20t,\\[4pt] z = 51 - t. \end{cases}
Também se quiser a forma simétrica (quando não se zera nenhuma componente) seria (\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-5}{20}=\dfrac{z-51}{-1}].]

Passo 9

Resumo final e recomendação: para qualquer questão parecida, primeiro verifique se o ponto realmente pertence à superfície. Se não pertencer, não existe o plano tangente nem a reta normal naquele ponto àquela superfície. Se o ponto pertencer, calcule f_x e f_y e aplique as fórmulas do Passo 4. Você já tem aqui um exemplo completo feito passo a passo.

Resposta

Não é possível encontrar o plano tangente nem a reta normal no ponto (2,5,9), porque esse ponto não pertence à superfície z=x^{2}+2y^{2}-3 (pois 2^{2}+2\cdot5^{2}-3=51\neq9).
Se a intenção fosse o ponto da superfície com x=2,y=5 (ou seja (2,5,51)), então o plano tangente é z=4x+20y-57 e a reta normal é x=2+4t,\;y=5+20t,\;z=51-t.

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