Encontre a aproximação linear da função
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a aproximação linear (linearização) da função
no ponto
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
A tarefa é fornecer a expressão da aproximação linear (plano tangente) de
em
.
Passo 2
O que é aproximação linear (intuição e fórmula): para uma função de duas variáveis
, a aproximação linear de
perto de um ponto
é o plano tangente que aproxima bem a superfície quando
está perto de
. A fórmula padrão é
Aqui:
-
é o valor da função no ponto de tangência; -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em ; -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em ; -
e são os deslocamentos pequenos a partir do ponto .\n
Essa fórmula vem da expansão de Taylor de primeira ordem. Pense nela como a versão em duas variáveis da fórmula da reta tangente em uma variável. Dá para usar essa aproximação na prova para estimar valores próximos ao ponto sem calcular exponenciais enormes exatamente.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais: vamos achar
e
simbolicamente e explicar cada passo. Defina
, então
. Usamos a regra da cadeia:\n
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a
Como
, obtemos
Derivada parcial em relação a
:
Como
, obtemos
Passo 4
Avaliar
,
e
no ponto
. Primeiro calcule o expoente:
Logo
Agora as derivadas no ponto:
Mostrei cada multiplicação para você conseguir reproduzir na prova sem pular passos.
Passo 5
Aplicar a fórmula da aproximação linear: use a expressão
Substituímos
,
e
que calculamos no Passo 4. A expressão final ficará escrita no campo “
Passo 6
Exemplo de uso prático (para fixar a ideia): se quiser aproximar
em
, calcule os deslocamentos
e
. A variação aproximada de
é
Substituindo os valores do Passo 4:
Portanto a aproximação é
. Isso mostra como usar o plano tangente para estimativas rápidas na prova.
Passo 7
Observações finais e incentivo: a função
é suave (infinitamente diferenciável), então a aproximação linear é válida e costuma ser bastante precisa para pontos próximos a
. Você conseguiu acompanhar as derivações passo a passo; isso é exatamente o que pedem em provas — mostrar as derivadas parciais e substituir no plano tangente. Vai dar certo, respira fundo e revisa estes passos calmamente antes da prova.